Kezdőlap


Feladat:	750. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Alpár L. , Blazsek I. , Bordás S. , Busztin Anna , Csikós Nagy B. , Deutsch E. , Eisner F. , Emődi M. , Fröhlich K. , Gajzágó E. , Gerber Zsuzsa , Giesser Gy. , Gyarmati B. , Kaiser F. , Kepes J. , Lehel P. , Lukács O. , Nánássy Éva , Pintér Gy. , Prém L. , Réffy K. , Róna I. , Róth Edith , Róth Sz. , Singer I. , Stolcz T. , Szabó I. , Székely I. , Varga Á. , Weiszfeld E.
Füzet:	1932/február, 156 - 157. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Elsőfokú diofantikus egyenletek, Másodfokú diofantikus egyenletek, Oszthatóság, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1931/december: 750. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

$1^{\circ}$ . Az

\begin{matrix} x^{2} + x + 1 = k \cdot 7 \end{matrix}

(1)

egyenlet összes egész számú megoldásait megkaphatjuk, ha egyet ismerünk. Tegyük fel tehát, hogy ha

x = a

, akkor

\begin{matrix} a^{2} + a + 1 = l \cdot 7. \end{matrix}

(2)

(1)-ből kivonva a (2)-t:

\begin{matrix} x^{2} - a^{2} + x - a = (k - l) 7 vagy (x - a) (x + a + 1) = m \cdot 7. \end{matrix}

(3)

A (3) baloldala a

7

törzsszámmal osztható, ha tényezőinek egyike osztható vele; tehát kell, hogy legyen:

\begin{matrix} x - a = 7 u vagy x + a + 1 = 7 u . \end{matrix}

Azonban

a = 2

esetében

a^{2} + a + 1 = 7

; így

\begin{matrix} x = 7 u + 2 vagy x = 7 u - 3. \end{matrix}

(3)

Eszerint, ha

x

helyébe

7 u + 2

vagy

7 u - 3

alakú számot teszünk, akkor

x^{2} + x + 1

osztható

7

-tel.

II. Megoldás az

1^{\circ}

.-re. Minthogy

\begin{matrix} x^{2} + x + 1 = (x^{2} + x - 6) + 7 = (x - 2) (x + 3) + 7, \end{matrix}

kell, hogy az

(x - 2) (x + 3)

szorzat osztható legyen

7

-tel. Tekintettel arra hogy

7

törzsszám, vagy

x - 2

, vagy

x + 3

7

többszöröse, tehát

\begin{matrix} vagy x = 7 u + 2 vagy x - 7 u - 3. \end{matrix}

2^{\circ}

. Minthogy

49 = 7^{2}

, az

\begin{matrix} x^{2} + x + 1 = k \cdot 49 \end{matrix}

(4)

egyenlet megoldása az előbbiből vezethető le. Ugyanis most azt kell keresnünk; hogy az

u

szám mely értékeinél lesz a

\begin{matrix} {(7 u + 2)}^{2} + 7 u + 2 + 1 = 7 (7 u^{2} + 5 u + 1) \end{matrix}

és a

\begin{matrix} {(7 u - 3)}^{2} + 7 u - 3 + 1 = 7 (7 u^{2} - 5 u + 1) \end{matrix}

kifejezések bármelyike a

49

többszöröse.
Az első esetben szükséges és elegendő, hogy legyen:

\begin{matrix} 5 u + 1 = 7 v, azaz u = \frac{7 v - 1}{5} = v + \frac{2 v - 1}{5} . \\ u \end{matrix}