Kezdőlap


Feladat:	745. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Alpár László , Gajzágó E. , Varga Á.
Füzet:	1932/január, 133 - 134. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Eltolás, Diszkusszió, Sokszögek szerkesztése, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1931/november: 745. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Tegyük fel, hogy $A B C D E F$ a keresett hatszög.
Szerkesszük meg a $C D$ és $D E$ oldalakhoz a $C D E N$ paralelogrammát; $B C$ és $C N$ -hez a $B C N M$ és végül az $E F$ és $E N$ -hez az $E F P N$ paralelogrammát. Az így előálló $A M P ▵$ meg van határozva, három oldala által.

Ugyanis

B M # C M # D E

; azonban

D E = a_{4} ⊥ a_{1} = A B

; tehát az

A B M ▵

B

-nél derékszögű, két befogója adva van és így az

A M

átfogó ‐ megszerkeszthető. Ugyanígy

A P

átfogója az

A F P

derékszögű háromszögnek, melynek befogói:

A F = a_{6}

és

F P = a_{3}

; az

M P

átfogója az

M N P

derékszögű háromszögnek, melynek befogói

M N = a_{2}

és

N P = a_{5}

.
Megszerkesztve az

A M P ▵

-et, a

B

csúcs az

A M

-re nézve két szimmetrikus helyzetet foglalhat el, az

F

csúcs az

A P

-re nézve két szimmetrikus helyzetbe kerülhet, úgy hogy az

A B F

háromszög

4

-féle lehet. Minden egyes

A B F

háromszöghöz két

N

pont jelölhető ki az

M P

-re nézve szimmetrikus helyzetben (tehát két

B C D E F

törtvonalat kapunk). Eszerint

4 \times 2 = 8

megoldás lehetséges.
A szerkesztés lehetőségének feltétele, hogy az

A M P ▵

legyen megszerkeszthető, azaz

\begin{matrix} | M P - P A | < A M < M P + P A \end{matrix}

vagy:

| \sqrt[]{a_{2}^{2} + a_{5}^{2}} - \sqrt[]{a_{3}^{2} + a_{6}^{2}} | < \sqrt[]{a_{1}^{2} + a_{4}^{2}} < \sqrt[]{a_{2}^{2} + a_{5}^{2}} + \sqrt[]{a_{3}^{2} + a_{6}^{2}}