Kezdőlap


Feladat:	739. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Alpár L. , Blazsek I. , Braun J. , Csernussi E. , Ehrlich J. , Eisner F. , Fröhlich K. , Gajzágó E. , Geba I. , Gerber Zs. , Kálmán E. , Kepes J. , Kürti J. , Lehel P. , Papp Zs. , Pásztor István , Popper Gy. , Rácz I. , Réffy K. , Róna I. , Róth Edith és Szigfrid , Schütz Gy. , Singr I. , Varga Á. , Weiszfeld E.
Füzet:	1932/január, 117 - 118. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Geometriai egyenlőtlenségek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1931/november: 739. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen $\bar{A B} = \bar{B A} = d$ .
a) Tegyük fel, hogy a $P$ pont az egyenesnek az $A$ és $B$ pontok közén kívül, pl. a $B$ felőli részen van, azaz

\begin{matrix} \bar{A P} = \bar{A B} + \bar{B P} . \end{matrix}

Ezen esetben

\begin{matrix} f (P) = \frac{1}{1 + \bar{A P}} + \frac{1}{1 + \bar{B P}} = \frac{1}{1 + \bar{A B} + \bar{B P}} + \frac{1}{1 + \bar{B P}} \leq \frac{1}{1 + \bar{A B}} + 1^{1} = \frac{2 + d}{1 + d} . \end{matrix}

¹
Ugyanígy, ha

P

A B

közön kívül, az

A

felőli oldalon van, tehát

\begin{matrix} \bar{B P} = \bar{B A} + \bar{A P} \end{matrix}

és

\begin{matrix} f (P) = \frac{1}{1 + A P} + \frac{1}{1 + B P} = \frac{1}{1 + A P} + \frac{1}{1 + B A + A P} \leq \frac{1}{1 + B A} + 1^{1} = \frac{2 + d}{1 + d} \end{matrix}

A szóban forgó törtek összegének,

f (P)

-nek legnagyobb értéke, az egyenesnek tekintetbe vett részén, t. i.

\frac{2 + d}{1 + d}

, akkor áll elő, ha

B P = 0

, vagy

A P = 0

, azaz a

P

pont a

B

, ill.

A

pontban van.
b) Legyen most a

P

pont az

A B

szakaszon. Most

A P + B P = A B

; tehát

\begin{matrix} f (P) & = \frac{1}{1 + A P} + \frac{1}{1 + B P} = \frac{2 + A P + B P}{1 + A P + B P + A P \cdot B P} = \\ = \frac{2 + A B}{1 + A B + A P \cdot B P}^{2} \leq \frac{2 + A B}{1 + A B} = \frac{2 + d}{1 + d} . \end{matrix}

f (P)

legnagyobb értéke most is akkor áll elő, ha vagy

A P = 0

vagy

B P = 0

.
²

Pásztor István (Dugonics András g. VIII. o. Szeged)

¹Ha a nevezőket a pozitív

B P

-vel ill.

A P

-vel csökkentjük, nagyobb értéket kapunk. Az egyenlőség jele érvényes, ha

B P = 0

ill.

A P = 0

²Ha a nevezőt a pozitív $A P \cdot B P$ szorzattal csökkentjük, a nagyobb értéket kapjuk. Az egyenlőség jele érvényes, ha vagy $A P = 0$ , vagy $B P = 0$ .