Kezdőlap


Feladat:	718. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Alpár L. , Blazsek I. , Busztin Anna , Deutsch Ervin , Emődi M. , Fröhlich K. , Gajzágó E. , Galamb T. , Gerber Zsuzsa , Kepes J. , Lehel P. , Megyery E. , Mérei L. , Mitnyán L. , Réffy K. , Repper J. , Singer I. , Stekler E. , Stolcz T. , Szabó F. , Székely I. , Varga Á. , Weiszfeld Endre
Füzet:	1931/november, 68 - 69. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Paraméteres egyenletrendszerek, Gyökök és együtthatók közötti összefüggések, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1931/szeptember: 718. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ezen egyenletrendszernek nyilvánvalóan egy megoldása $x_{1} = p$ , $y_{1} = q$ .
Fejezzük ki (1)-ből $y$ -t is helyettesítsük (2)-be:

\begin{matrix} x^{2} + {(\frac{a p + b q - a x}{b})}^{2} + \frac{a p + b q - a x}{b} x - (p^{2} + q^{2} + p q) = 0. \end{matrix}

(2a)

(2a) az

x

-re másodfokú egyenlet, melynek egyik gyöke

x_{1} = p

. Elegendő tehát, ha kiszámítjuk a gyökök szorzatát. Ha a kijelölt műveleteket elvégezzük és

x

hatványai szerint rendezünk,

x^{2}

együtthatója lesz:

\begin{matrix} A = \frac{b^{2} + a^{2} - a b}{b^{2}}, \end{matrix}

a tiszta tag:

\begin{matrix} C = \frac{{(a p + b q)}^{2} - b^{2} (p^{2} + q^{2} + p q)}{b^{2}} . \end{matrix}

A gyökök szorzata:

\begin{matrix} x_{1} x_{2} = \frac{C}{A} = \frac{a^{2} p^{2} + 2 a b p q - b^{2} p^{2} - b^{2} p q}{a^{2} + b^{2} - a b} . \end{matrix}

Minthogy

\begin{matrix} x_{1} = p, x_{2} = \frac{C}{A p} = \frac{a^{2} p + 2 a b q - b^{2} p - b^{2} q}{a^{2} + b^{2} - a b} = \frac{(a^{2} - b^{2}) p + (2 a - b) b q}{a^{2} + b^{2} - a b} . \end{matrix}

Hasonló módon kapjuk, hogy

\begin{matrix} y_{2} = \frac{(b^{2} - a^{2}) q + (2 b - a) a p}{a^{2} + b^{2} - a b} . \end{matrix}

Weiszfeld Endre (Kemény Zsigmond r. VI. o. Bp. VI.)

Jegyzet. Minthogy az

\begin{matrix} a x + b y = a p + b q \end{matrix}

egyenlet egy megoldása

x = p

y = q

, az összes megoldásai

\begin{matrix} x = p + b u, y = q - a u \end{matrix}

alakban írhatók, ahol

u

felvehet minden értéket

- \infty

-től

+ \infty

-ig. Mivel pedig

x

és

y

a (2) egyenletet is kielégíteni tartoznak, kell, hogy

u

\begin{matrix} {(p + b u)}^{2} + {(q - a u)}^{2} + (p + b u) (q - a u) = p^{2} + q^{2} + p q \end{matrix}

gyöke legyen. Ezen egyenlet egyik gyöke:

u_{1} = 0

és akkor

x_{1} = p

y_{1} = q

; a másik gyöke

\begin{matrix} u_{2} = \frac{a (p + 2 q) - b (2 p + q)}{b^{2} + a^{2} - a b} \end{matrix}

és így

\begin{matrix} x_{2} = p + b \frac{a (p + 2 q) - b (2 p + q)}{b^{2} + a^{2} - a b}, y_{2} = q - a \frac{a (p + 2 q) - b (2 p + q)}{b^{2} + a^{2} - a b} . \end{matrix}

Könnyen igazolható, hogy ezen értékpár azonos az I. megoldásban szereplő

x_{2}

y_{2}

, értékpárral.