Kezdőlap


Feladat:	690. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Alpár L. , Erdős Pál , Grünwald Tibor , Kolhányi F. , Kövesdi D. , Molnár D. , Nánássy Éva , Sebők Gy.
Füzet:	1931/szeptember, 11 - 12. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyenlőtlenségek, Számsorozatok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1931/április: 690. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

$1^{\circ}$ . Az $a_{1}, a_{2}, ... a_{n}$ számok között a legnagyobb legyen $a_{r}$ , a $b_{1}, b_{2} ... b_{n}$ , számok legkisebbike pedig $b_{s}$ . Feltevésünk szerint van oly $x$ szám, amely az $r$ -edik és $s$ -edik egyenlőtlenséget egyidejűleg kielégíti, amelyre tehát

\begin{matrix} a_{r} < x és x < b_{s}, amiért a_{r} < b_{s} \end{matrix}

Van tehát egy

x

szám, amelyre

a_{r} < x < b_{s}

és ezen

x

valamennyi egyenlőtlenséget kielégíti,^{$^{*}$} minthogy

x

nagyobb a legnagyobb

a

-nál és kisebb a legkisebb

b

-nél, minden

a

-nál nagyobb és minden

b

-nél kisebb^{$^{*}$}.

2^{\circ}

. Végtelen sok egyenlőtlenség esetében az

a_{1}, a_{2} ... a_{3} ...

számok halmaza felülről, a

b_{1}, b_{2} ... b_{3} ...

számok halmaza alulról korlátos^{$^{*}$}.
Így az

a

számoknak van egy felső határuk, legyen ez

A

, a

b

számoknak egy alsó határuk, legyen ez

B

úgy, hogy

A ≦ B

.
Ha

A < B

, akkor mindazon

x

számok ‐ és csakis azok ‐ elégítik ki az összes egyenlőtlenségeket, amelyekre

A ≦ x ≦ B

. Az egyenlőség jele akkor engedhető meg, ha

A \neq a_{i} (i = 1,2 ... n ...)

, ill.

B \neq b_{j} (j = 1,2, ... n ...)

.
Lehet azonban

A = B = U

. Most két esetet különböztethetünk meg:
a)

A \neq a_{i}, B \neq b_{j}, (i, j = 1,2, ... n ...)

. Ekkor

U

─ és csakis ezen szám ─ elégíti ki az összes egyenlőtlenségeket.
b)

A = a_{i}

vagy

B = b_{j}

esetében nincs oly

x

szám, mely az összes egyenlőtlenségeket kielégítené. Ha azonban a

<

jelet, mindenütt a

≦

jellel cseréljük fel, akkor a tétel az

U

számra érvényben marad.

Grünwald Tibor (I. év bh. Bp.)

Jegyzet. Az előzőkből kiviláglik, hogy a tétel végtelen sok egyenlőtlenség esetén érvényben marad, ha a

<

jelt mindenütt a

≦

jellel pótoljuk. Ezt még egyszerűbb módon is megállapíthatjuk. Ugyanis az

a_{i}

számok halmaza felülről korlátos, azért van egy legkisebb

x

szám, amelynél egy

a_{i}

sem nagyobb, azaz minden

i

-nél

a_{i} ≦ x

.
Ugyanakkor azonban minden

j

-re fennáll:

x ≦ b_{j}

; mert ha valamely

j

-re nézve

b_{j} < x

, akkor a

b_{j}

egy

x

-nél kisebb szám lenne, amelynél egy

a_{i}

sem nagyobb, holott előbb az

x

számról kimondtuk, hogy a legkisebb szám, amelynél egy

a_{i}

sem nagyobb. Minthogy így

x

egy

a_{i}

-nél sem kisebb és egy

b_{j}

-nél sem nagyobb, azért

x

az összes

\begin{matrix} a_{i} ≦ x ≦ b_{i} \end{matrix}

egyenlőtlenségeket kielégíti.

^{$^{*}$}Természetesen minden

x

szám, amelyre

a_{r} < x < b_{s}

kielégíti az összes egyenlőtlenségeket.

^{$^{*}$}Kimondhatjuk, hogy minden $i$ , $j$ számpárra $a_{i} < b_{j}$ .

^{$^{*}$}Az $a$ számokra nézve mindegyik $b$ felső korlát, a $b$ számokra mindegyik $a$ alsó korlát.