Kezdőlap


Feladat:	672. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Albrecht J. , Alpár László , Balassa Gy. , Bársony Stefénia , Braun J. , Császár I. , Csernussi E. , Csoma Zs. , Deutsch Endre , Deutsch Ervin , Deutsch I. , Ehrenfeld Gy. , Emődi Gy. , Ernst F. , Fejér Gy. , Fonyó I. , Gajzágó E. , Gerber Zsuzsa , Gohn E. , Holczmann V. , Hornyánszky I. , Jónás J. , Kerekes S. , Klein B. , Kmoschek P. , Kohner A. , Kövesdi Dezső , Lázár D. , Nagymihály L. , Nay A. , Rosta F. , Sebők Gy. , Serényi G. , Simon Á. , Simonyi Á. , Singer I. , Szabó F. , Szebasztián Rózsa , Székely I. , Szendrő K. , Tóbiás I. , Vida L. , Weiszfeld E. , Zsoldos P.
Füzet:	1931/április, 248 - 249. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül körökben, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1931/február: 672. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. Megoldás. Ha $t$ két egymástól különböző körnek valamely közös érintője, akkor $t$ -nek a körök centrálisára vonatkozó tükörképe is közös érintő lesz. E tükörkép akkor és csak akkor esik össze magával a $t$ közös érintővel, ha $t$ merőleges a centrálisra és ennélfogva a két kör mindegyikét éppen $t$ -nek a centrálissal való metszéspontjában érinti, vagyis mind a két kört ugyanabban a pontban. Tehát, ha a két kör nem érintkezik, akkor a közös érintők párosan lesznek, esetleg teljesen hiányzanak. Érintkező körök esetében az érintkezés pontjában vont közös érintő (és csak ez) összeesik a tükör képével, tehát az érintők száma páratlan.

Kövesdi Dezső (Állami Somssich Pál rg. VIII. o. Kaposvár)

II. Megoldás. Két egymástól különböző körnek közös érintői, mint ismeretes, a hasonlósági pontokból vonható érintők. Valamely hasonlósági pontból vonható közös érintők száma 2, 1 vagy 0, aszerint, hogy a hasonlósági pont mindkét körön kívül van, vagy a két körnek érintkezési pontjába esik, vagy mindkét körön belül van. Tehát két egymással nem érintkező kör közös érintőinek száma mindig páros: még pedig 4, ha a két kör egymást kizárja; csak 2, ha a két kör egymást metszi; végre 0, ha az egyik kör egészen a másiknak belsejében van.^{$^{*}$} Egymással érintkező köröknél az egyik hasonlóság pont az érintkezés pontjába esik, tehát a közös érintők száma páratlan: mégpedig 3 a külső érintkezés esetében; 1 a belső érintkezés esetében.

Alpár László (Izr. rg. VII. o. Bp.)

III. Megoldás. Vonatkoztassuk az egymástól különböző

K

és

k

köröket olyan derékszögű koordinátarendszerre, amelyben az abszcisszák tengelye a két körnek centrálisa, a kezdőpont pedig

K

középpontjába esik. A körök egyenletei

\begin{matrix} x^{2} + y^{2} = R^{2} és {(x - c)}^{2} + y^{2} = r^{2} . \end{matrix}

A jelölést és a koordinátarendszert így választjuk, hogy

R > r

és

C > 0

.
A közös érintőkre a következő egyenleteket kapjuk:

\begin{matrix} x (R + r) + y \sqrt[]{c^{2} - {(R + r)}^{2}} - c R = 0, & (1) \\ x (R + r) - y \sqrt[]{c^{2} - {(R + r)}^{2}} - c R = 0, & (2) \\ x (R - r) + y \sqrt[]{c^{2} - {(R - r)}^{2}} - c R = 0, & (3) \\ x (R - r) - y \sqrt[]{c^{2} - {(R - r)}^{2}} - c R = 0. & (4) \end{matrix}

E négy egyenlet azonban csak akkor lesz rendre egymástól különböző, ha egyik négyzetgyök alatt sincs zérus. Továbbá az egyenletek közül csak azok valóságos egyenesek egyenletei, amelyekben a négyzetgyök alatt nincs negatív szám.
Ha két kör érintkezik, akkor
vagy

R + r = c

(külső érintkezés).
vagy

R - r = c

(belső érintkezés).
Az első esetben (1) és (2) az

\begin{matrix} x = \frac{c R}{R + r}, y = 0 \end{matrix}

érintkezési pontban vont érintő egyenlete; (3) és (4) pedig két tőle és egymástól különböző valóságos egyenes egyenlete. A második esetben (3) és (4) az

\begin{matrix} x = \frac{c R}{R - r}, y = 0 \end{matrix}

érintkezési pontban vont érintő egyenlete; (3) és (4) ebben az esetben nem jelentenek valóságos egyeneseket. A közös érintők száma az első esetben 3, a másodikban: 1, mindkét esetben páratlan szám.
Ha a két kör nem érintkezik, akkor a következő esetek lehetségesek:

c > R + r

(egymást kizáró körök),

R + r > c > R - r

(egymást metsző körök),

R - r > c

(

K

magába zárja

k

-t).
Mind a három esetben (1) ‐ (4) rendre egymástól különböző egyenletek. Az első esetben mind a négy egyenlet valóságos egyenest jelent, a második esetben csak (3) és (4), a harmadikban egyik sem. Tehát a közös érintők száma az első esetben: 4, a másodikban 2, a harmadikban: 0, mind a három esetben páros szám.

Szebasztián Rózsa (Csanád vezér rg. VIII. o. Makó)

^{$^{*}$}Ez akkor is igaz, ha a két körnek ugyanaz a középpontja van, tehát két hasonlósági pont összeesik egymással és a körök középpontjával.