Kezdőlap


Feladat:	666. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Albrecht J. , Alpár L. , Balassa Gy. , Bánföldy A. , Baranyai K. , Barok Gy. , Bársony I. , Bársony Stefánia , Barta F. , Blaskó Gy. , Busztin Anna , Böszörményi M. , Csoma Zs. , Erdős Pál , Fejér Gy. , Gajzágó E. , Grünwald Tibor , Jakobovits I. , Jónás J. , Kerékgyártó J. , Király Gy. , Klein B. , Kmoschek P. , Kövesdi D. , Lázár D. , Molnár D. , Nay Andor , Paskusz S. , Popper Gy. , Róna I. , Scholcz G. , Sebestyén M. , Sebők György , Simon Á. , Singer Gy. , Singer I. , Stekler E. , Straubert J. , Szebasztián Rózsa , Vezér Gy.
Füzet:	1931/április, 241 - 242. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Differenciálási szabályok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1931/február: 666. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. Megoldás. Legyen

\begin{matrix} f (x) \equiv a x^{3} + b x^{2} + c x + d \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} a x^{3} + b x^{2} + c x + d = (3 a_{1} x^{2} + 2 b_{1} x + c_{1}) (6 a_{1} x + 2 b_{1}) \end{matrix}

(1)

és

\begin{matrix} a_{1} x^{3} + b_{1} x^{2} + c_{1} x + d = (3 a x^{2} + 2 b x + c) (6 a x + 2 b) . \end{matrix}

(2)

Az (1) és (2) egyenletek jobb és baloldalán

x

egyenlő hatványainak együtthatói egyenlők; ezért

\begin{matrix} a = 18 a_{1}^{2} és a_{1} = 18 a^{2}, azaz 18 a^{3} = 18 a_{1}^{3} ill. a^{3} = a_{1}^{3} . \end{matrix}

(3)

Ha csak valós értékekre szorítkozunk:

a = a_{1} = \frac{1}{18}

.
Továbbá:

\begin{matrix} b = 12 a_{1} b_{1} + 6 a_{1} b_{1} = 18 a_{1} b_{1} = b_{1} . \end{matrix}

(4)

Ugyanígy:

\begin{matrix} b_{1} = 18 a b + 6 a b = 18 a b = b . \end{matrix}

x

együtthatója (1)-ből

\begin{matrix} c = 6 a_{1} c_{1} + 4 b_{1}^{2} = \frac{c_{1}}{3} + 4 b_{1}^{2} \end{matrix}

(5)

és (2)-ből

\begin{matrix} c_{1} = 6 a c + 4 b^{2} = \frac{c}{3} + 4 b^{2} . \end{matrix}

(6)

Innen:

\begin{matrix} c - c_{1} = \frac{c_{1} - c}{3} azaz c_{1} = c . \end{matrix}

Helyettesítve ezt (4)-be vagy (5)-be:

c = c_{1} = 6 b^{2}

.
Végül (1)-ből:

d = 2 b_{1} c_{1} = 2 b c = 12 b^{3}

és (2)-ből

d_{1} = 2 b c = 12 b^{3}

.
Ezek szerint:

\begin{matrix} f (x) = g (x) = \frac{1}{18} x^{3} + b x^{2} + 6 b^{2} x + 12 b^{3} = \\ = \frac{1}{18} (x^{3} + 18 b x^{2} + 108 b^{2} x + 216 b^{3}) = \frac{1}{18} {(x + 6 b)}^{3} . \end{matrix}

6 b

helyett

λ

-t írva:

\begin{matrix} f (x) = g (x) = \frac{1}{18} {(x + λ)}^{3} . \end{matrix}

Nay Andor (kegyesrendi rg. VIII. o. Veszprém)

Jegyzet. A (3) összefüggésből általában az következik, hogy ha

ε

az egység valamely köbgyöke,

\begin{matrix} a = \frac{ε}{18} és a_{1} = \frac{ε}{18}, \end{matrix}

és így

f (x) = \frac{ε}{18} {(x + λ)}^{3}, ... g (x) = \frac{ε}{18} {(x + λ)}^{3}

.
Könnyen meggyőződhetünk, hogy ezek kielégítik a feltételi egyenleteket.

Sebők György (Berzsenyi Dániel rg. VIII. o. Bp.)

II. Megoldás. Mind a két identitást differenciáljuk háromszor és vegyük tekintetbe, hogy

f''' (x)

és

g''' (x)

már constans; tehát

\begin{matrix} f' (x) & = {[g'' (x)]}^{2} + g' (x) g''' (x), & (1) \\ g' (x) & = {[f'' (x)]}^{2} + f' (x) f''' (x), & (1a) \\ f'' (x) & = 2 g'' (x) g''' (x) + g'' (x) g''' (x) = 3 g'' (x) g''' (x), & (2) \\ g'' (x) & = 3 f'' (x) f''' (x), & (2a) \\ f'' (x) & = 3 {[g''' (x)]}^{2}, & (3) \\ g''' (x) & = 3 {[f''' (x)]}^{2} . & (3a) \end{matrix}

(3)- és (3a)-ból:

f''' (x) = 27 {[f''' (x)]}^{4}

.
Kizárva az

f''' (x) = 0

értéket (mert ekkor másodfokú függvény lenne az

f (x

) és

g (x)

), következik, hogy

f''' (x) = g''' (x) = \frac{1}{3}

. ^{$^{*}$}
Most már (2)-ből:

f'' (x) = g'' (x) = \int \frac{d x}{3} = \frac{x}{3} + c

,
ahol

c

tetszés szerinti állandó. Ha most

g' (x)

-nek (1a) alatti értékét (1)-be helyettesítjük:

\begin{matrix} f' (x) = [f'' (x)] + \frac{1}{3} {[f'' (x)] + \frac{1}{3} [f' (x)]}, \end{matrix}

azaz

\begin{matrix} f' (x) = g' (x) = \frac{2}{3} {[f'' (x)]}^{2} = \frac{2}{3} (\frac{x}{3} + c) \end{matrix}

és

\begin{matrix} f (x) = g (x) = \frac{3}{2} {[f'' (x)]}^{3} = \frac{3}{2} {(\frac{x}{3} + c)}^{3} = \frac{1}{18} {(x + λ)}^{3}, \end{matrix}

ha t. i.

3 c = λ

Grünwald Tibor (I. é. bh. Bp.)

^{$^{*}$}Itt is érvényes, hogy

f''' (x) = \frac{ε}{3}

és

g''' (x) = \frac{ε^{2}}{3}

, ahol

ε

az egység egyik köbgyöke.