Kezdőlap


Feladat:	661. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Albrecht J. , Alpár L. , Balassa Gy. , Baranyai K. , Bársony Stefánia , Budó Á. , Busztin Anna , Csernussi E. , Fejér Gy. , Gajzágó E. , Gohn E. , Hornyánszky István , Klein B. , Kmoschek P. , Kohner A. , Kolhányi F. , Kövesdi D. , Lázár Dezső , Prém L. , Róna I. , Sebők Gy. , Singer Gy. , Varga Á. , Zsemlye B. , Zsoldos P.
Füzet:	1931/március, 216. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Magasságvonal, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül háromszögekben, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1931/január: 661. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az $A$ , $B$ , $C$ csúcsból húzott magasságok talppontjai ‐ a szemben fekvő oldalakon rendre $A'$ , $B'$ , $C'$ ‐ a magassági pont $M$ . Az $A M C' ▵ \sim C M A' ▵$ ; ugyanis ${C'}_{}^{\land} = A_{}^{\land} = 90^{\circ}$ és $A M C' ∢ = C M A' ∢$ , minthogy csúcsszögek, tehát

\begin{matrix} M A : M C' = M C : M A', ill. \bar{M A} \cdot \bar{M A'} = \bar{M C} \cdot \bar{M C'}, \end{matrix}

azaz az

M

pont hatványa az

A A'

és

C C'

átmérőjű körökre nézve egyenlő. Ugyancsak ekkora az

M

pont hatványa a

B B'

átmérőjű körre nézve is. Így az

M

pont a három kör hatványpontja: két-két kör hatványvonala ezen ponton megy keresztül. Két egymást metsző kör hatványvonala tartalmazza a két kör közös húrját; ha tehát a háromszög hegyesszögű vagy derékszögű, akkor lehet szó közös húrokról. Ha a háromszög tompaszögű, akkor a szóban forgó körök között lehetnek olyanok is, amelyek nem metszik egymást.

Hornyánszky István (Fáy András rg. VII. o. Bp. IX.)

Jegyzet. A tétel akkor is érvényes, ha a magasságok egy-egy kör húrjai.

Lázár Dezső (Br. Eötvös József r. VIII. o. Bp. IV.)