Feladat: 625. matematika feladat Korcsoport: 18- Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Alpár L. ,  Baranyai K. ,  Faragó S. ,  Fejér Gy. ,  Kövesdi D. ,  Sebők György ,  Simon Á. ,  Weisz F. 
Füzet: 1930/december, 121. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Térgeometriai bizonyítások, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1930/október: 625. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A föltétel szerint H-nak minden az L-lel érintkező lapja nem megszakítás nélküli vonalban érintkezik L-lel. Legyen H-nak egy ilyen lapja az I, mely L-lel pl. az A élben és a B csúcsban érintkezik. A H felületnek van még olyan lapja, amely L-nek A és B között valamelyik oldalán legalább egy élben érintkezik L-lel, (mert hiszen A és B között vannak még élek, tehát megfelelő lapok is). Legyen egy ilyen lap a II., melynek egy, az A és B közötti éle C.

 
 

A föltétel szerint II. sem érintkezik az L-lel folytonos vonalban és így két eset lehetséges: Vagy van a II. lapnak éle, ill. csúcsa az L-nek A és B közötti másik (a C-t nem tartozó) oldalán és ekkor az I. és II. lapnak már megvan a tételben kimondott tulajdonsága; vagy pedig a II. csak L-nek az ACB darabján függ össze L-lel, de a föltétel szerint nem folytonos vonalban, hanem a C és E helyeken, melyek között van még egy idegen él, mondjuk a III. lapnak egy éle. Most tekintsük az ACB határnak CE részét, mely legalább egy éllel kevesebb élt tartalmaz, mint ACB és alkalmazzuk a II. és III. lapra ugyanazon meggondolást, mint előbb az I. és II. lapra: vagy felváltják egymást a II. és III.-nak az L-lel való érintkezési helyei és akkor II. és III. bír a mondott tulajdonsággal, vagy pedig van a III. érintkezési helyei között egy IV. lapnak is éle s. í. t. Így minden egyes lépésnél legalább eggyel kevesebb élt tartalmazó határvonalra jutunk; mivel az élek száma véges, a kiválasztási eljárásunk egyszer befejeződik, mégpedig ha előbb nem találtuk meg a keresett két határlapot, akkor, amikor egy olyan n-dik lapra jutunk, melynek L-lel való P és Q érintkezési helyei között csak egy R él van s R-hez tartozó (n+1)-ik lap a PRQ határvonalon kívül is érintkezik egy S csúcsban vagy élben az L-lel.
 

Az itt közölt megoldáshoz legközelebb áll Sebők Györgyé (Berzsenyi Dániel rg. VIII. o. Bp.).