Kezdőlap


Feladat:	607. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Alpár L. , Bakay B. , Balassa Gy. , Barta F. , Boros J. , Busztin Anna , Böszörményi M. , Dénes P. , Deutsch E. , Deutsch I. , Ernst F. , Fejér Gy. , Gajzágó E. , Gohn E. , Hornyánszky István , Kemény I. , Klein B. , Kmoschek P. , Kolhányi F. , Kövesdi D. , Lázár D. , Nay A. , Sebők Gy. , Semmelweiss O. , Simon Á. , Szebasztián Rózsa , Tóbiás I. , Varga Á. , Vida L. , Weisz K. , Zsemlye B.
Füzet:	1930/november, 83 - 84. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Síkgeometriai számítások trigonometriával, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1930/szeptember: 607. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. Megoldás. Az 578. feladatban (VI. évf. 289. o.) láttuk, hogy ha $O$ jelenti az $A B C ▵$ köré írt kör középpontját, és $R$ ezen kör sugarát, $H$ a magassági pontját, $a$ , $b$ , $c$ a háromszög oldalait, akkor

\begin{matrix} {\bar{O H}}^{2} = 9 R^{2} - (a^{2} + b^{2} + c^{2}) . \end{matrix}

Minthogy

a = 2 R sin α

b = 2 R sin β

c = 2 R sin γ

, ezeket az idézett összefüggésbe helyettesítve,

\begin{matrix} sin^{2} α + sin^{2} β + sin^{2} γ = \frac{9}{4} - {(\frac{O H}{2 R})}^{2} . \end{matrix}

A szóban forgó összeg maximum lesz, ha

O H = 0

, azaz a háromszög magassági pontja a körülírt kör középpontjába esik, tehát ha a háromszög egyenlőoldalú. Ekkor

\begin{matrix} sin^{2} α + sin^{2} β + sin^{2} γ = 3 \cdot sin^{2} 60 = 3 \cdot \frac{3}{4} = \frac{9}{4} . \end{matrix}

II. Megoldás. Az

S

összeg így is írható: ¹

\begin{matrix} S = sin^{2} α + sin^{2} β + sin^{2} γ = 2 (1 + cos α cos β cos γ) . \end{matrix}

S

összegnek maximuma van, midőn a

cos α cos β cos γ

szorzat is maximum. Ez nyilván csak akkor állhat elő, ha az

α

β

γ

szögek mindegyike hegyesszög, amidőn mindegyik cosinus>0.
Minthogy

\begin{matrix} cos α cos β = \frac{1}{2} [cos (α - β) + cos (α + β)] \leq \frac{1}{2} [1 + cos (α + β)] \end{matrix}

és

\begin{matrix} 1 + cos (α + β) = 2 cos^{2} \frac{α + β}{2}, \end{matrix}

lesz

\begin{matrix} cos α cos β \leq cos^{2} \frac{α + β}{2} . \end{matrix}

Alkalmazhatjuk tehát Jensen tételét ², amellyel

\begin{matrix} cos α cos β cos γ \leq cos^{3} \frac{α + β + γ}{3} = cos^{3} 60 = \frac{1}{8} . \end{matrix}

Így a

cos α

cos β

cos γ

szorzat akkor éri el legnagyobb értékét,
ha

α = β = γ = 60^{\circ}

, tehát az

S

összeg maximuma:

\begin{matrix} S_{{max}_{}^{}} = 2 (1 + \frac{1}{8}) = \frac{9}{4} . \end{matrix}

Hornyánszky István (Fáy András rg. VII. o. Bp. IX.)

¹L. Rácz L. Gyakorlókönyv II. k. 173. o.

²Hogy Jensen tételét alkalmazhassuk, hangsúlyoznunk kellett, hogy $cos α$ , $cos β$ , $cos γ$ pozitív számok. L. KÜRSCHÁK: Matematikai Versenytételek, 105. o.