Kezdőlap


Feladat:	606. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Alpár L. , Bakay B. , Balassa Gy. , Bánföldy A. , Barabás L. , Deutsch E. , Deutsch I. , Ehrenfeld György , Erdős L. , Ernst Frigyes , Fejér Gy. , Fleischmann S. , Gajzágó E. , Gárdos Gy. , Hegedűs T. , Hornyánszky I. , Jónás J. , Kemény I. , Király Gy. , Klein B. , Kmoschek P. , Kolhányi F. , Kozma M. , Kövesdi D. , Lázár D. , Marcsa M. , Mikes T. , Nay A. , Papp Zs. , Pelikán J. , Ritter G. , Róna I. , Scholcz G. , Schuster J. , Sebők Gy. , Simon Á. , Singer Gy. , Singer I. , Stekler E. , Szabó F. , Szabó I. , Szebasztián R. , Székely M. , Sztramszky M. , Tóbiás I. , Varga Á. , Vezér Gy. , Weisz F. , Weltzl I. , Zsemlye B.
Füzet:	1930/november, 82 - 83. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Négyszögek szerkesztése, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1930/szeptember: 606. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A rombust átlói meghatározzák; tekintsük ezeket, ill. az átlók felét ismeretlenek gyanánt. Ha az átlók fele $x$ és $y$ , akkor

\begin{matrix} 2 x y = T . \end{matrix}

(1)

A rombusba írt kör

R

sugara oly derékszögű háromszögnek magassága (az átfogóhoz tartozó), melynek befogói

x

és

y

, tehát

\begin{matrix} \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{y^{2}} = \frac{1}{R^{2}} . \end{matrix}

(2)

Az (1) egyenlet írható a köv. alakban:

\begin{matrix} \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{1}{y^{2}} = \frac{4}{T^{2}} . \end{matrix}

(1a)

Az (1a) és (2) egyenletekből következik, hogy

\frac{1}{x^{2}}

és

\frac{1}{y^{2}}

\begin{matrix} u^{2} - \frac{u}{R^{2}} + \frac{4}{T^{2}} = 0 \end{matrix}

egyenlet gyökei. Ha ezek valósak, egyszersmind pozitívek. Valósak akkor, ha

\begin{matrix} \frac{1}{R^{4}} - \frac{16}{T^{2}} \geq 0, azaz T \geq 4 R^{2}, \end{matrix}

más szóval a rombus területe nem lehet kisebb az adott

R

sugarú köré írt négyzet területénél.
Minthogy

x

és

y

az egyenletrendszerben felcserélhető, lényegileg csak egyféle rombust kapunk.

Ernst Frigyes (Széchenyi István gyakorló r. VIII. o. Pécs)