Feladat: 583. matematika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Alpár L. ,  Csoma Zs. ,  Feldheim E. ,  Grünwald T. ,  Kolhányi F. ,  Kövesdi Dezső ,  Lázár D. ,  Sebők Zs. ,  Simon Á. ,  Szebasztián Rózsa ,  Varga T. ,  Weisz F. 
Füzet: 1930/szeptember, 15 - 16. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1930/április: 583. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az adott függvény-kapcsolatot írjuk fel, a tört eltávolítása után, x hatványai szerint rendezett alakban:

2(y-1)x4+(y-8)x2-(y+3)=0.(1)

A felvetett kérdésre úgy felelhetünk, hogy megvizsgáljuk, minő y értékek mellett vannak az (1) egyenletnek x-re nézve valós gyökei? Legyen x2=z; így azt kell keresnünk, mikor lesz a
2(y-1)z2+(y-8)z-(y+3)=0(2)
egyenletnek pozitív valós gyöke? A (2) discriminánsa
D(y-8)2+8(y-1)(y+3)=9y2+40>0
az y bármely valós értékénél, tehát a (2) gyökei valós számok.
A gyökök előjelének meghatározására vizsgáljuk a gyökök szorzatát és összegét.
A gyökök szorzata: -y+32(y-1). Ez negatív, ha y a -3, +1 intervallumon kívül van, tehát ebben az esetben a (2)-nek egyik gyöke pozitív, és így az (1)-nek van valós gyöke.
A gyökök szorzata pozitív, ha -3<y<+1. Ezen intervallumban a gyökök összege: -y-82(y-1)<0, tehát a (2) mind a két gyöke negatív és így az (1)-nek nincsenek valós gyökei.
Eszerint y felvehet minden értéket --től +-ig, kizárva a -3 és +1 közötti értékeket.
Látjuk egyszersmint, hogy egy bizonyos y értékhez csak egy pozitív z=x2 érték tartozik; ebből következik, hogy a megadott y értéket a függvény két x érték mellett veszi fel; ezen két érték abszolút értékre megegyező, előjelre ellenkező.
 

Kövesdi Dezső (Somssich Pál rg. VII. o. Kaposvár)