Kezdőlap


Feladat:	581. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Alpár L. , Csoma Zs. , Dénes P. , Fejér Gy. , Feldheim E. , Gajzágó E. , Grünwald T. , Katona L. , Kemény I. , Kiss I. , Kövesdi D. , Lázár D. , Singer Gy. , Soos G. , Szabó F. , Szebasztián Rózsa , Székely I. , Varga Á. , Varga T. , Vida L. , Weisz F. , Zsemlye B.
Füzet:	1930/szeptember, 13 - 14. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Tizes alapú számrendszer, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1930/április: 581. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az adott törtek valódi törtek, melyek nevezői a 2-től és 5-től különböző törzsszámok; ha ezen törteket tizedes törtekké változtatjuk, tiszta szakaszos tizedes törteket kapunk. Ha a szakasz $S$ , ill. $S'$ , akkor ezen tizedes törtek értékét mint végtelen geometriai haladvány összegét írhatjuk, azaz:

\begin{matrix} \frac{A}{7} = \frac{S}{10^{k} - 1} és \frac{A}{13} = \frac{S'}{10^{l} - 1} . \end{matrix}

Eszerint kell, hogy

10^{k} - 1

osztható legyen 7-tel,

10^{l} - 1

pedig 13-mal.
Ismeretes, hogy ha

p

törzsszám, akkor

\begin{matrix} 10^{p - 1} - 1 osztható p -vel. \end{matrix}

Így

k = 6

mellett:

10^{6} - 1 = (10^{3} - 1) (10^{3} + 1)

osztható 7-tel, de

10^{3} - 1

nem osztható 7-tel. Tehát az

S

szakasz 6 jegyű szám.
Ha

l = 12

, akkor

10^{12} - 1 = (10^{6} - 1) (10^{6} + 1) = (10^{3} - 1) (10^{3} + 1) (10^{6} + 1)

osztható 13-mal.

10^{6} - 1

osztható 13-mal, de már

10^{3} - 1

nem osztható vele; eszerint

l = 6

és az

S'

szakasz is hatjegyű.
Eszerint

\begin{matrix} \frac{A}{7} = \frac{S}{10^{6} - 1} és \frac{A}{13} = \frac{S'}{10^{6} - 1}; innen S : S' = 13 : 7. \end{matrix}