Kezdőlap


Feladat:	572. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Alpár L. , Barok Gy. , Böszörményi M. , Déman P. , Ernst F. , Faragó Tibor , Feldheim E. , Gillemot L. , Grünwald T. , Jakobovits I. , Kemény I. , Kolhányi F. , Kövesdi D. , Lázár D. , Liebermann J. , Papp Gy. , Scheibner K. , Sebők Gy. , Simon Á. , Straubert J. , Szebasztián Rózsa , Székely I. , Weisz F.
Füzet:	1930/május, 283 - 284. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Függvényvizsgálat, Számtani-mértani egyenlőtlenségek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1930/március: 572. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A feladatban megadott függvény értéke az $x$ növekedésével csökken, tehát a függvény változásának abszolút értékére vonatkozik a megállapításunk.
Legyen $\frac{h}{n} = δ$ és a függvény értéke a $(k - 1) δ$ , $k δ$ , $(k + 1) δ$ helyeken rendre $y_{1}$ , $y_{2}$ , $y_{3}$ . Kimutatjuk, hogy

\begin{matrix} y_{1} - y_{2} > y_{2} - y_{3}, azaz y_{1} + y_{3} > 2 y_{2} . \end{matrix}

(1)

Két pozitív szám számtani és mértani középarányosára vonatkozó tétel szerint:

\begin{matrix} \frac{y_{1} + y_{3}}{2} ≧ \sqrt[]{y_{1} y_{3}}, vagyis y_{1} + y_{3} ≧ 2 \sqrt[]{y_{1} y_{3}} . \end{matrix}

(2)

Eszerint az (1) igaz, ha kimutatjuk, hogy

\begin{matrix} 2 \sqrt[]{y_{1} y_{3}} > 2 y_{2}, vagy {(y_{1} y_{3})}^{4} > y_{2}^{8} . \end{matrix}

(3)

A definíció szerint:

\begin{matrix} y_{1} = \frac{1}{\sqrt[4]{a + b (k - 1) δ}}, y_{2} = \frac{1}{\sqrt[4]{a + b k δ}}, y_{3} = \frac{1}{\sqrt[4]{a + b (k + 1) δ}} . \\ {(y_{1} y_{3})}^{4} = \frac{1}{a^{2} + 2 b k δ + b^{2} (k^{2} - 1) δ^{2}}; y_{2}^{8} = \frac{1}{a^{2} + 2 b k δ + b^{2} k^{2} δ^{2}} . \end{matrix}

{(y_{1} y_{3})}^{4}

kifejezésében a nevező, utolsó tagja miatt nyilván kisebb, mint

y_{2}^{8}

nevezője; ebből következik, hogy a (3) és így az (1) is igaz.

Faragó Tibor (ref. g. VIII. o. Debrecen)