Feladat: 572. matematika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Alpár L. ,  Barok Gy. ,  Böszörményi M. ,  Déman P. ,  Ernst F. ,  Faragó Tibor ,  Feldheim E. ,  Gillemot L. ,  Grünwald T. ,  Jakobovits I. ,  Kemény I. ,  Kolhányi F. ,  Kövesdi D. ,  Lázár D. ,  Liebermann J. ,  Papp Gy. ,  Scheibner K. ,  Sebők Gy. ,  Simon Á. ,  Straubert J. ,  Szebasztián Rózsa ,  Székely I. ,  Weisz F. 
Füzet: 1930/május, 283 - 284. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Függvényvizsgálat, Számtani-mértani egyenlőtlenségek, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1930/március: 572. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A feladatban megadott függvény értéke az x növekedésével csökken, tehát a függvény változásának abszolút értékére vonatkozik a megállapításunk.
Legyen hn=δ és a függvény értéke a (k-1)δ, kδ, (k+1)δ helyeken rendre y1, y2, y3. Kimutatjuk, hogy

y1-y2>y2-y3,  azaz  y1+y3>2y2.(1)

Két pozitív szám számtani és mértani középarányosára vonatkozó tétel szerint:
y1+y32y1y3,  vagyis  y1+y32y1y3.(2)

Eszerint az (1) igaz, ha kimutatjuk, hogy
2y1y3>2y2,  vagy  (y1y3)4>y28.(3)

A definíció szerint:
y1=1a+b(k-1)δ4,y2=1a+bkδ4,y3=1a+b(k+1)δ4.(y1y3)4=1a2+2bkδ+b2(k2-1)δ2;y28=1a2+2bkδ+b2k2δ2.



(y1y3)4 kifejezésében a nevező, utolsó tagja miatt nyilván kisebb, mint y28 nevezője; ebből következik, hogy a (3) és így az (1) is igaz.
 

Faragó Tibor (ref. g. VIII. o. Debrecen)