Kezdőlap


Feladat:	564. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Alpár L. , Balassa Gy. , Barna I. , Barok Gy. , Barta F. , Beke I. , Budó Ágoston , Böszörményi M. , Déman P. , Ernst F. , Faragó T. , Fejér Gy. , Feldheim E. , Gillemot L. , Gohn E. , Grünwald T. , Hapka I. , Jancsek I. , Klein B. , Kmoschek P. , Kolhányi F. , Kövesdi D. , Lázár D. , Liebermann J. , Papp Gy. , Perlesz G. , Sámuel J. , Scheibner K. , Schossberger A. , Sebők Gy. , Semmelweiss O. , Soos G. , Straubert J. , Vida L. , Weisz Fülöp
Füzet:	1930/április, 247 - 248. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Téglatest, Terület, felszín, Térfogat, Számtani-mértani egyenlőtlenségek, Nevezetes egyenlőtlenségek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1930/február: 564. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

$1^{\circ}$ . Az $a$ , $b$ , $c$ pozitív mennyiségek harmonikus középarányosa

\begin{matrix} H = \frac{3}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} = \frac{3 a b c}{a b + b c + c a} . \end{matrix}

Mértani középarányosuk:

G = \sqrt[^{3}]{a b c}

. Aritmetikai közepük:

A = \frac{a + b + c}{3}

.
Ismeretes, hogy

H ≦ G

^{$^{*}$} (az egyenlőségi jel akkor áll elő, ha

a = b = c

). Eszerint

\begin{matrix} \frac{3 a b c}{a b + b c + c a} ≦ \sqrt[^{3}]{a b c} vagyis: 27 {(a b c)}^{2} ≦ {(a b + b c + c a)}^{3} . \end{matrix}

Azonban

a b + b c + c a = \frac{F}{2} és a b c = V

; így

\begin{matrix} 27 V^{2} ≦ \frac{F^{3}}{8}, tehát F^{3} - 216 V^{2} ≧ 0. \end{matrix}

Adott

\binom{felület}{köbtartalom}

mellett

a = b = c

esetben, azaz a kockának van a

\binom{legnagyobb köbtartalma}{legkisebb felülete}

2^{\circ}

. A geometriai és aritmetikai közepekre vonatkozó reláció szerint

(G ≦ A)

\begin{matrix} \sqrt[^{3}]{a b c} ≦ \frac{a + b + c}{3}^{2} vagy a b c ≦ \frac{{(a + b + c)}^{3}}{27} és így {(a + b + c)}^{3} - 27 V ≧ 0. \end{matrix}

² Az élek adott összege mellett legnagyobb köbtartalma van a kockának; adott térfogat mellett a kocka éleinek összege a legkisebb.

3^{\circ}

. A harmonikus és aritmetikai közepekre vonatkozó reláció értelmében:

^{2}

\begin{matrix} \frac{3 a b c}{a b + b c + c a} ≦ \frac{a + b + c}{3} vagyis \frac{2 \cdot 3 V}{F} ≦ \frac{a + b + c}{3}, \end{matrix}

és így

\begin{matrix} a + b + c - \frac{18 V}{F} ≧ 0. \end{matrix}

Az élek adott összege mellett a

\frac{V}{F}

hányados értéke legnagyobb a kockánál; adott

\frac{V}{F}

hányados érték mellett az élek összege legkisebb a kockánál.

Weisz Fülöp (izr. rg. VII. o. Bp.)

^{$^{*}$}L. II. évf. 37.oldal: ,,A középértékekről''

²Az egyenlőség jele $a = b = c$ esetben áll elő.