Kezdőlap


Feladat:	534. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Alpár L. , Balassa Gy. , Baranyai K. , Barna I. , Barok György , Barta F. , Beer E. , Beke I. , Bohdaneczky I. , Budó Ágoston , Böszörményi M. , Déman P. , Erdős Pál , Faragó S. , Faragó T. , Farkas I. , Feldheim E. , Fürst H. , Grünwald T. , Hapka I. , Jancsek J. , Klein B. , Kmoschek P. , Kolhányi F. , Kövesdi D. , Lázár D. , Liebermann J. , Ligeti M. , Nádor L. , Nay A. , Pólya J. , Pusztai E. , Sámuel J. , Scheibner Kálmán , Schossberger A. , Sebők Gy. , Semmelweiss O. , Simon Á. , Singer Gy. , Szebasztián Rózsa , Török I. , Vezér Gy. , Vincze I. , Weisz F.
Füzet:	1930/január, 155 - 156. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Nevezetes azonosságok, Súlyvonal, Szögfelező egyenes, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül háromszögekben, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1929/november: 534. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. Megoldás. Több ízben idézett összefüggés: ^{$^{*}$}

\begin{matrix} l_{α} < \sqrt[]{b c}, l_{β} < \sqrt[]{c a}, l_{γ} < \sqrt[]{a b}, \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} l_{α}^{2} + l_{β}^{2} + l_{γ}^{2} < a b + b c + c a . \end{matrix}

Azonban, mivel

{(a - b)}^{2} \geq 0

s. í. t.

\begin{matrix} a^{2} + b^{2} \geq 2 a b, b^{2} + c^{2} \geq 2 b c, c^{2} + a^{2} \geq 2 c a . \end{matrix}

E három egyenlőtlenség megfelelő oldalainak összeadásából:

\begin{matrix} a b + b c + c a \leq a^{2} + b^{2} + c^{2}, \end{matrix}

és így

\begin{matrix} l_{α}^{2} + l_{β}^{2} + l_{γ}^{2} < a^{2} + b^{2} + c^{2} . \end{matrix}

Scheibner Kálmán (Széchenyi István gyakorló r. VII. o. Pécs)

II. Megoldás. A 153. gyakorlatban (III. évf. 44. o.) láttuk, hogy az ugyanazon csúcsból kiinduló szögfelező és oldalfelező közül az utóbbi a nagyobbik; ha ennek jele

d_{α}

s í. t., akkor

\begin{matrix} l_{α} \leq d_{α}, l_{β} \leq d_{β}, l_{γ} \leq d_{γ}, \end{matrix}

ahol az egyenlőség jele az egyenlőszárú, ill. egyenlőoldalú háromszögre vonatkozik. Azonban

\begin{matrix} d_{α}^{2} + d_{β}^{2} + d_{γ}^{2} = \frac{b^{2} + c^{2}}{2} - \frac{a^{2}}{4} + \frac{c^{2} + a^{2}}{2} - \frac{b^{2}}{4} + \frac{a^{2} + b^{2}}{2} - \frac{a^{2}}{4} = \\ = \frac{3 (a^{2} + b^{2} + c^{2})}{4} < a^{2} + b^{2} + c^{2} . \end{matrix}

Eszerint

\begin{matrix} l_{α}^{2} + l_{β}^{2} + l_{γ}^{2} \leq d_{α}^{2} + d_{β}^{2} + d_{γ}^{2} < a^{2} + b^{2} + c^{2} . \end{matrix}

Barok György (Koháry István rg. VIII. o. Gyöngyös)

^{$^{*}$}A 153. gyakorlatban (III. évf.) azt találtuk, hogy:

\begin{matrix} l_{α}^{2} = \frac{b c [{(b + c)}^{2} - a^{2}]}{{(b + c)}^{2}} = b c [1 - {(\frac{a}{b + c})}^{2}], tehát l_{α}^{2} < b c . \end{matrix}