Kezdőlap


Feladat:	529. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Albrecht J. , Alpár L. , Aschenbrier E. , Balassa Gy. , Baranyai K. , Barok Gy. , Beer E. , Beke István , Bohdaneczky I. , Budó Ágoston , Déman P. , Erdélyi Erzsi , Erdős Pál , Ernst F. , Farkas I. , Fejér Gy. , Feldheim E. , Gillemot L. , Gohn E. , Grünwald T. , Hapka I. , Jakobovits I. , Jánosi S. , Katona Erzsébet , Klein B. , Kmoschek P. , Kövesdi D. , Lázár D. , Nádor L. , Nagymihály L. , Nay A. , Papp Gy. , Sámuel J. , Sebők Gy. , Singer Gy. , Soos G. , Straubert J. , Vida L. , Weisz F. , Zsemlye B. , Zöldy Margit
Füzet:	1930/január, 150 - 151. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Irracionális egyenletek, Paraméteres egyenletek, Gyökök és együtthatók közötti összefüggések, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1929/november: 529. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Meg kell állapítanunk, hogy $\sqrt[]{x}$ mikor valós és mikor pozitív? Legyen tehát $y = \sqrt[]{x}$ , akkor az

\begin{matrix} y^{2} cos α + 2 y sin α - 1 = 0 egyenlet gyökei: y_{1,2} = \frac{- sin α \pm \sqrt[]{sin^{2} α + cos α}}{cos α} . \end{matrix}

(1)

Ezen gyökök valósak, ha

\begin{matrix} sin^{2} α + cos α = 1 - cos^{2} α + cos α \geq 0 vagy cos^{2} α - cos α - 1 \leq 0. \end{matrix}

(2)

Minthogy a

cos^{2} α - cos α - 1 = 0

egyenlet gyökei:

cos α = \frac{1 \pm \sqrt[]{5}}{2}

, a (2) feltétel kielégítéséhez kell, hogy

cos α

a két érték között legyen; mivel

\frac{1 + \sqrt[]{5}}{2} > 1

, írhatjuk:

\begin{matrix} \frac{1 - \sqrt[]{5}}{2} \leq cos α \leq 1. \end{matrix}

(3)

Tekintettel arra, hogy

α_{1} = arc cos \frac{1 - \sqrt[]{5}}{2} \approx 128^{\circ} 10' 23''

,
(3)-ból következik:

\begin{matrix} 0 \leq α \leq 128^{\circ} 10' 23'' . \end{matrix}

(4)

Azonban kell, hogy

y

pozitív is legyen. Az

y

gyökök szorzata:

- \frac{1}{cos α}

; ez negatív,

\begin{matrix} ha cos α > 0 azaz 0 \leq α < \frac{π}{2} . \end{matrix}

Ebben az esetben az (1) gyökök egyike pozitív, t. i.

\begin{matrix} y_{1} = \frac{sin α + \sqrt[]{sin^{2} α + cos α}}{cos α} . \end{matrix}

A gyökök szorzata pozitív, ha

cos α < 0

; tekintettel a (4)-re, ekkor

\frac{π}{2} < α \leq α_{1}

; minthogy ezen

α

értékek mellett a gyökök összege:

- \frac{2 sin α}{cos α}

szintén pozitív, az (1) gyökök mindegyike pozitív.
Az

α = 0

esetben egyenletünk:

y^{2} = 1

, tehát

\sqrt[]{x} = 1

és

x = 1

.
Ha

α = \frac{π}{2}

, akkor

2 y - 1 = 0

, tehát,

y = \sqrt[]{x} = \frac{1}{2}

és

x = \frac{1}{4}

\begin{matrix} α = α_{1} mellett (az (1) discriminánsa zérus) \\ \sqrt[]{x} = y_{1} = y_{2} = \frac{- sin α_{1}}{cos α_{1}} = - \frac{\sqrt[]{1 - cos^{2} α_{1}}}{cos α_{1}} = \frac{\sqrt[]{2 (\sqrt[]{5} - 1)}}{\sqrt[]{5} - 1} \approx 1, 27 \end{matrix}

x

értékeit a következő táblázatba foglalhatjuk:

\begin{matrix} \begin{matrix} α & 0 & \frac{π}{2} & a_{1} \\ x & 1 & y_{1}^{2} & \frac{1}{4} & y_{1}^{2} és y_{2}^{2} & 1, 27^{2} \end{matrix} \end{matrix}

Beke István (Toldy Ferenc r. VIII. o. Bp. II.)