Kezdőlap


Feladat:	526. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Alpár L. , Barok Gy. , Déman P. , Erdős Pál , Ernst F. , Farkas I. , Feldheim E. , Grünwald T. , Hapka I. , Jancsek J. , Kolhányi F. , Kövesdi D. , Lázár D. , Papp Gy. , Sámuel J. , Scheibner K. , Soos G. , Straubert J. , Szebasztián Rózsa , Weisz F.
Füzet:	1930/január, 148 - 149. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Paraméteres egyenletek, Gyökök és együtthatók közötti összefüggések, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1929/november: 526. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ha az $f (x) = 0$ egyenletnek egyik gyöke 0 és 1 között van, akkor $f (0)$ és $f (1)$ ellenkező előjelűek:

\begin{matrix} f (0) = q, f (1) = 1 + p + q \end{matrix}

(1)

g (x) = 0

egyenlet gyökeit megadja az

\begin{matrix} x (x + 1) + p x (x + 2) + q (x + 2) (x + 1) = 0 \end{matrix}

egyenlet, melyet rendezve:

\begin{matrix} (1 + p + q) x^{2} + (1 + 2 p + 3 q) x + 2 q = 0. \end{matrix}

(2)

A (2) egyenlet gyökeinek szorzata:

\begin{matrix} \frac{2 q}{1 + p + q} < 0, \end{matrix}

mert (1) szerint

q (1 + p + q) < 0

. Ebből következik, hogy a (2) egyenlet gyökei valósak és ellenkező előjelűek, tehát a

g (x) = 0

egyenletnek egy és csakis egy pozitív gyöke van.

Erdős Pál (Szent István rg. VIII. o. Bp.)