Kezdőlap


Feladat:	483. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Alpár L. , Barok Gy. , Beer E. , Beke I. , Berkovits A. , Buzna V. , Csiky J. , Cziffra A. , Dénes P. , Déry E. , Eisnitz G. , Erdős Pál , Feldheim E. , Gillemot L. , Gohn E. , Grünwald T. , Hajós György , Hapka Gy. , Jurenák D. , Kiss Gy. , Klein B. , Klein M. , Kmoschek P. , Kolhányi F. , Kozma M. , Lázár D. , Ligeti M. , Lindtner P. , Mattyasovszky Z. , Molnár E. , Nádor L. , Radó Gy. , Radványi L. , Raisz Iván , Sámuel J. , Schmitz Ilona , Schossberger A. , Schwarcz F. , Sebők Gy. , Simon Á. , Soos G. , Sréter J. , Szebasztián Rózsa , Székely I. , Székely Lilly , Waldapfel L. , Zsoldos I.
Füzet:	1929/szeptember, 21 - 22. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek hasonlósága, Nevezetes egyenlőtlenségek, Számtani sorozat, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1929/április: 483. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

$1^{\circ}$ . Legyen a haladvány első tagja a $a > 0$ , a számtani haladvány különbsége $d > 0$ ; így a haladvány tagjai

\begin{matrix} a, a + d, a + 2 d . \end{matrix}

Ezek akkor lehetnek egy háromszög oldalai, ha

\begin{matrix} a + 2 d < a + a + d, tehát ha d < a . \end{matrix}

A számtani haladvány különbsége kisebb tartozik lenni a legkisebb oldalnál!

2^{\circ}

. Két háromszög szögei egyenlők, ha a megfelelő oldalak aránya egyenlő. Legyenek tehát a két háromszög oldalai rendre

\begin{matrix} a, a + d, a + 2 d ill. a_{1}, a_{1} + d_{1}, a_{1} + 2 d_{1} . \end{matrix}

Követelményünk, hogy

\begin{matrix} \frac{a + d}{a} = \frac{a_{1} + d_{1}}{a_{1}} és \frac{a + 2 d}{a} = \frac{a_{1} + 2 d_{1}}{a_{1}} \end{matrix}

legyen; mind a két aránypárból következik a keresett egyszerű feltétel:

\begin{matrix} \frac{d}{a} = \frac{d_{1}}{a_{1}} \end{matrix}

Más szóval: ha egy háromszög oldalai számtani haladványt alkotnak, akkor a

\frac{d}{a}

viszony meghatározza a szögek nagyságát!

3^{\circ}

. A háromszög legkisebb szöge

α

, a legnagyobb

γ

; tehát

\begin{matrix} b = a + d, c = a + 2 d, és a + b + c = 3 (a + d) = 2 s . \end{matrix}

Ismeretes összefüggések:

\begin{matrix} tg \frac{α}{2} = \sqrt[]{\frac{(s - b) (s - c)}{s (s - a)}}; tg \frac{γ}{2} = \sqrt[]{\frac{(s - a) (s - b)}{s (s - c)}}; \end{matrix}

ezekkel

\begin{matrix} tg \frac{α}{2} tg \frac{γ}{2} = \frac{s - b}{s} . \end{matrix}

Ha a háromszög oldalai számtani haladványt alkotnak, akkor

\begin{matrix} s = \frac{3}{2} (a + d); s - b = \frac{3}{2} (a + d) - (a + d) = \frac{a + d}{2} \end{matrix}

és

\begin{matrix} tg \frac{α}{2} tg \frac{γ}{2} = \frac{1}{3}, tehát tg \frac{γ}{2} = \frac{1}{3 tg \frac{α}{2}} = \frac{cotg \frac{α}{2}}{3} . \end{matrix}

(1)

Továbbá pedig

\begin{matrix} tg \frac{β}{2} = cotg \frac{α + γ}{2} = \frac{1}{tg \frac{α + γ}{2}} = \frac{1 - tg \frac{α}{2} tg \frac{γ}{2}}{tg \frac{α}{2} + tg \frac{γ}{2}} = \frac{1 - \frac{1}{3}}{tg \frac{α}{2} + \frac{1}{3 tg\frac{α}{2}}} \\ tg \frac{β}{2} = \frac{2 tg\frac{α}{2}}{1 + 3 {tg}^{2} \frac{α}{2}} . & (2) \end{matrix}

Ha a háromszög derékszögű, akkor a legnagyobb szög

γ = 90^{\circ}

tg\frac{γ}{2}=1

és (1)-ből

\begin{matrix} (1) -ből tg \frac{α}{2} = \frac{1}{3}, (2) -ből tg \frac{β}{2} = \frac{1}{2} . \\ tg α = \frac{2 tg \frac{α}{2}}{1 - {tg}^{2} \frac{α}{2}} = \frac{3}{4}, tehát tg β = \frac{4}{3} . \end{matrix}

A derékszögű háromszög befogói tehát ebben az esetben

3 : 4

arányt alkotnak. Ha a befogók mérőszáma

3 x

és

4 x

az átfogóé

5 x

Raisz Iván (ref. rg. VII: o. Miskolc.)