Kezdőlap


Feladat:	479. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Barok Gy. , Beke I. , Buzna V. , Csíky J. , Cziffra A. , Dénes P. , Erdős J. , Feldheim E. , Gohn E. , Grünwald T. , Hajós György , Hapka I. , Klein M. , Kmoschek P. , Lindtner P. , Pápay M. , Sebők Gy. , Soos Géza , Sréter J. , Székely Lilly
Füzet:	1929/szeptember, 15. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Nevezetes azonosságok, Műveletek polinomokkal, Polinomok szorzattá alakítása, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1929/április: 479. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen

\begin{matrix} F (x) \equiv x^{4 a + 3} + x^{4 b + 2} + x^{4 c + 1} + x^{4 d} és f (x) \equiv x^{3} + x^{2} + x + 1. \\ F (x) - f (x) = x^{3} (x^{4 a} - 1) + x^{2} (x^{4 b} - 1) + x (x^{4 c} - 1) + (x^{4 d} - 1) \end{matrix}

Azonban

x^{4 k} - 1

, ahol

k

pozitív egész szám, mindig osztható

(x^{4} - 1)

-gyel, tehát

\begin{matrix} F (x) - f (x) = (x^{4} - 1) G (x) vagyis F (x) = (x^{4} - 1) G (x) + f (x) \end{matrix}

ahol

G (x)

x

-nek egész függvénye. Mivel pedig

\begin{matrix} x^{4} - 1 = (x^{3} + x^{2} + x + 1) (x - 1) = f (x) (x - 1), \end{matrix}

lesz:

\begin{matrix} F (x) = f (x) (x - 1) G (x) + f (x) \end{matrix}

Ebből már látjuk, hogy

f (x)

F (x)

-nek osztója.

Soos Géza (Szent László rg. VII. o. Bp. X.)