Kezdőlap


Feladat:	476. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Barok Gy. , Beck M. , Bohdaneczky I. , Csiky J. , Ereky V. , Etre S. , Glosios Tibor , Grünwald T. , Hajós György , Hapka I. , Holczinger István , Klein I. , Klein T. , Kohn P. , Liebermann J. , Magyarka F. , Pápay M. , Papp L. , Sámuel J. , Schwarcz F. , Sréter J. , Stern M. , Szebasztián Rózsa , Székely Lilly
Füzet:	1929/május, 275 - 276. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Súlypont, Sokszögek súlypontjának koordinátái, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1929/március: 476. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. Megoldás. Az $A_{i}$ , $B_{i}$ , $C_{i}$ pontok koordinátái legyenek rendre

\begin{matrix} (X_{a, i}, Y_{a, i}), (X_{b, i}, Y_{b, i}), (X_{c, i,} Y_{c, i}), (i = 1, 2, 3) . \end{matrix}

Feltevésünk szerint

\begin{matrix} X_{k, 3} = \frac{X_{k, 1} + X_{k, 2}}{2} és Y_{k, 3} = \frac{Y_{k, 1} + Y_{k, 2}}{2} (k = a, b, c) . \end{matrix}

A_{i} B_{i} C_{i} ▵

súlypontjának koordinátai legyenek

ξ_{i}

és

η_{i}

; tehát

\begin{matrix} ξ_{3} = \frac{X_{a, 3} + X_{b, 3} + X_{c, 3}}{3} = \frac{1}{2} [\frac{X_{a, 1} + X_{a, 2} + X_{b, 1} + X_{b, 2} + X_{c, 1} + X_{c, 2}}{3}] = \\ = \frac{1}{2} [(\frac{X_{a, 1} + X_{b, 1} + X_{c, 1}}{3}) + (\frac{X_{a, 2} + X_{b, 2} + X_{c, 2}}{3})] = \frac{1}{2} (ξ_{1} + ξ_{2}), \end{matrix}

ahol

\begin{matrix} ξ_{1} = \frac{X_{a, 1} + X_{b, 1} + X_{c, 1}}{3} és ξ_{2} = \frac{X_{a, 2} + X_{b, 2} + X_{c, 2}}{3} . \end{matrix}

Hasonlóan következik, hogy

\begin{matrix} η_{3} = \frac{1}{2} (η_{1} + η_{2}) \end{matrix}

azaz: az

A_{3} B_{3} C_{3} ▵

, súlypontja felezi az

A_{1} B_{1} C_{1} ▵

és

A_{2} B_{2} C_{2} ▵

súlypontjainak távolságát.
Ezen megállapítás független az

A_{1} B_{1} C_{1} ▵

és

A_{2} B_{2} C_{2} ▵

kölcsönös helyzetétől.

Holczinger István (kegyesrendi g. VII. o. Bp.)

II. Megoldás. Az

A_{1} B_{1} C_{1} ▵

és

A_{2} B_{2} C_{2} ▵

két különböző síkban fekszik; a megfelelő csúcspontokat összekötő távolságok felezőpontjai az

A_{3} B_{3} C_{3} ▵

-et határozzák meg. Legyenek már most

A_{1}'

A'_{2}

A'_{3}

rendre a

B_{1} C_{1}

B_{2} C_{2}

B_{3} C_{3}

oldalak felezőpontjai. A

B_{1} B_{2} C_{1} C_{2}

(tér)-négyszög középvonalai az előbbiek szerint

A'_{1} A'_{2}

és

B_{3} C_{3}

; ezek azonban felezik egymást az

A'_{3}

pontban. (L. V. évf. 4. sz. 409. feladatot)

A_{1} B_{1} C_{1} ▵

A_{2} B_{2} C_{2} ▵

A_{3} B_{3} C_{3} ▵

súlypontjai rendre

S_{1}

S_{2}

S_{3}

; ezek az

A_{1} A'_{1}

A_{2} A'_{2}

A_{3} A'_{3}

súlyvonalakon feküsznek úgy, hogy

\begin{matrix} A_{1} S_{1} : S_{1} A'_{1} = A_{2} S_{2} : S_{2} A'_{2} = A_{3} S_{3} : S_{3} A'_{3} = 2 : 1. \end{matrix}

Mármost ha

A_{3}

A_{1} A_{2}

egyenesen,

A'_{3}

A'_{1} A'_{2}

egyenesen úgy mozog, hogy

\begin{matrix} A_{1} A_{3} : A_{3} A_{2} = A'_{1} A'_{3} : A'_{3} A'_{2}, \end{matrix}

akkor azon pont, mely az

A_{3} A'_{3}

-at

2 : 1

arányban osztja két részre, tehát az

S_{3}

oly egyenesen mozog, mely az

A_{1} A'_{1}

, és

A_{2} A'_{2}

távolságokat szintén

2 : 1

arányban osztja, azaz az

S_{1} S_{2}

egyenesen, (l. IV. évf. 1. számában a 261. feladatot), mégpedig úgy, hogy

\begin{matrix} S_{1} S_{3} : S_{3} S_{2} = A_{1} A_{3} : A_{3} A_{2} . \end{matrix}

Glosios Tibor (ág. ev. gimn. VIII. o. Bp.)