Feladat:	469. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Alpár L. ,  Arz J. ,  Aschenbrier E. ,  Bakay B. ,  Barok Gy. ,  Bartos Gy. ,  Bátorffy V. ,  Beer E. ,  Beke I. ,  Beke J. ,  Braun J. ,  Csiky J. ,  Cziffra A. ,  Detrich B. ,  Dindorfer Ö. ,  Dux Klára ,  Erdélyi E. ,  Erdős I. ,  Erdős Pál ,  Erdős S. ,  Ernst F. ,  Etre S. ,  Fejér Gy. ,  Feldheim E. ,  Fischer I. ,  Gerber Edit ,  Glosios T. ,  Gohn E. ,  Grossmann S. ,  Grósz J. ,  Grünwald T. ,  Gyárfás I. ,  Hajós György ,  Hapka I. ,  Hesz F. ,  Holczinger I. ,  Ignátz P. ,  Jacobi A. ,  Katz D. ,  Kelemen M. ,  Kemény M. ,  Kiss Gy. ,  Klein B. ,  Klein I. ,  Klein M. ,  Klein T. ,  Kmoschek P. ,  Kohn P. ,  Kőszeghy G. ,  Kozma F. ,  Liebermann J. ,  Lindtner P. ,  Mitterdorfer Katinka ,  Molnár J. ,  Nyirő P. ,  Pápay M. ,  Papp Gy. ,  Papp L. ,  Pásztor I. ,  Pomóthy D. ,  Pongrácz R. ,  Radó Gy. ,  Radványi L. ,  Raisz I. ,  Rásky J. ,  Sámuel J. ,  Schlesinger L. ,  Schwarcz E. ,  Schwarcz F. ,  Schütz Gy. ,  Sebestyén J. ,  Simon Á. ,  Skrilecz A. ,  Soltész J. ,  Soos G. ,  Spáczel L. ,  Sréter J. ,  Stein L. ,  Straubert J. ,  Szebasztián Rózsa ,  Székely Lilly ,  Szőcs I. ,  Szolovits D. ,  Varga Tibor ,  Vezér Gy. ,  Vince I. ,  Waldapfel L. ,  Walient P. ,  Weisz F. ,  Zeitler T.
Füzet:	1929/május, 268 - 269. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Negyedfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1929/március: 469. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. $\begin{array}{c}{\displaystyle {\left(1+x\right)}^4=1+4x+6x^2+4x^3+x^4\mathrm{.}}\end{array}$ Ennek tekintetbe vételével, egyenletünk kellő rendezés után $\begin{array}{c}{\displaystyle x^4-4x^3-6x^2-4x+1=0}\end{array}$ (1) alakra hozható. Az egyenlet minden tagját $x^2$-ével osztva: $\begin{array}{c}{\displaystyle x^2+\frac{1}{x^2}-4\left(x+\frac{1}{x}\right)-6=0.}\end{array}$ (2) Legyen már most: $\begin{array}{c}{\displaystyle x+\frac{1}{x}=y\mathrm{.}}\end{array}$ (3) Így: $\begin{array}{c}{\displaystyle x^2+\frac{1}{x^2}=y^2-2.}\end{array}$ (4) Eszerint meg kell oldanunk először az $\begin{array}{c}{\displaystyle y^2-4y-8=0}\end{array}$ (5) egyenletet, ahonnan $\begin{array}{c}{\displaystyle y_1=2\left(1+\sqrt[]{3}\right)\text{és}{y}_2=2\left(1-\sqrt[]{3}\right)\mathrm{.}}\end{array}$ Az ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle x+\frac{1}{x}=y\text{ill.}{x}^2-yx+1=\mathrm{0,}}\hfill & \text{(<mn>3</mn><mi>a</mi>)}\\ \hfill {\displaystyle x=\frac{y\pm \sqrt[]{y^2-4}}{2}\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ $x$-re valós értéket csak úgy kapunk, ha $|y|\ge 2$. Minthogy $|y_2|<2$, csak $y_1$ szolgáltat $x$-re valós értékeket; mégpedig, mivel (5) szerint ${\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle y^2-4=4y+4=4\left(3+2\sqrt[]{3}\right)\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle x_1=1+\sqrt[]{3}+\sqrt[]{3+2\sqrt[]{3}}\text{és}{x}_2=1+\sqrt[]{3}-\sqrt[]{3+2\sqrt[]{3}}\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$   Varga Tibor (Balassi Bálint rg. VII. o. Balassagyarmat)