Kezdőlap


Feladat:	456. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Glosios Tibor , Hajós György , Hapka I. , Klein T. , Kozma F. , Pápay M. , Papp L. , Sámuel J. , Schwarcz F. , Sebestyén J. , Sréter J.
Füzet:	1929/április, 233 - 235. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Numerikus és grafikus módszerek, Interpoláció, Interpolációs polinomok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1929/február: 456. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. Megoldás. A feltételt:

\begin{matrix} - 1 ≦ x^{2} + p x + q ≦ 1, ha x = a_{0}, a_{1}, a_{2}, \end{matrix}

helyettesítsük evvel:

\begin{matrix} - 2 ≦ x^{2} + p x + q - 1 ≦ 0, ha x = a_{0}, a_{1}, a_{2} . \end{matrix}

Ez azért kényelmesebb, mert a

\begin{matrix} g (x) \equiv x^{2} + p x + q - 1 \end{matrix}

függvénynek negatív értékei, tekintettel arra, hogy

x^{2}

együtthatója pozitív, csak a zérus helyek között lehetnek, azaz

\begin{matrix} a_{0}, a_{1}, a_{2} a g (x) = 0 egyenlet gyökei közé esnek. \end{matrix}

Két esetet különböztessünk meg aszerint, amit a

g (x)

függvény minimuma

> - 2

vagy pedig

< - 2

.
a)

g (x)

minimuma:

\frac{4 q - 4 - p^{2}}{4} > - 2

, ha

p^{2} - 4 q < 4

.
A

g (x) = 0

egyenlet gyökeinek különbségét, ill. ennek négyzetét a discrimináns adja meg, azaz:

\begin{matrix} {(x_{1} - x_{2})}^{2} = p^{2} - 4 q + 4 < 4 + 4 = 8. \end{matrix}

Legyen

x_{1} > x_{2};

így

\begin{matrix} x_{1} - x_{2} < 2 \sqrt[]{2} . \end{matrix}

Mive1

a_{0}, a_{1}, a_{2}

közül legalább kettő az

x_{1} - x_{2}

intervallum egyik felébe esik beleszámítva ezen félrész határpontjait, azért az

\begin{matrix} a_{0} - a_{1}, a_{1} - a_{2}, a_{2} - a_{0} \end{matrix}

különbségek egyikének abszolut értéke

< \sqrt[]{2}

.
b)

g (x)

minimuma:

\frac{4 q - 4 - p^{2}}{4} ≦ - 2

, ha

p^{2} - 4 q ≧ 4

.
Ezen esetben az

a_{0}, a_{1}, a_{2}

helyek a

g (x) = 0

egyenletnek

x_{2}

és

x_{1}

gyökei közé esnek, de a

\begin{matrix} g (x) = - 2 \end{matrix}

egyenletnek

ξ_{2}

és

ξ_{1}

(ξ_{2} < ξ_{1})

gyökein kívül, azaz az

\begin{matrix} x_{1} - ξ_{1} ill. ξ_{2} - x_{2} intervallumokba. \end{matrix}

\begin{matrix} g (x) = x^{2} + p x + q - 1 = - 2 azaz x^{2} + p x + q + 1 = 0 \end{matrix}

egyenlet nagyobbik gyöke

\begin{matrix} ξ_{1} = \frac{- p + \sqrt[]{p^{2} - 4 q - 4}}{2} . \end{matrix}

ξ_{1}

valós, mert feltevésünk szerint

p^{2} - 4 q ≧ 4

.
A

g (x) = x^{2} + p x + q - 1 = 0

egyenletnek nagyobbik gyöke

\begin{matrix} x_{1} = \frac{- p + \sqrt[]{p^{2} - 4 q + 4}}{2}; \\ x_{1} - ξ_{1} = \frac{\sqrt[]{p^{2} - 4 q + 4} - \sqrt[]{p^{2} - 4 q - 4}}{2} = \frac{8}{2 [\sqrt[]{(p^{2} - 4 q - 4) + 8} + \sqrt[]{p^{2} - 4 q - 4}]} . \end{matrix}

Minthogy

p^{2} - 4 q - 4 \geq 0,

a nevező legkisebb értékével a tört legnagyobb értékét kapjuk, azaz

\begin{matrix} x_{1} - ξ_{1} ≦ \frac{8}{2 \sqrt[]{8}} = \sqrt[]{2} . \end{matrix}

Hasonlóan:

\begin{matrix} ξ_{2} - x_{2} ≦ \sqrt[]{2} . \end{matrix}

a_{0}, a_{1}, a_{2}

számok közül kettő e két intervallum egyikébe esik, tehát ezen kettőnek különbsége abszolút értékre

≦ \sqrt[]{2}

Egy középiskolai tanár.

II. Megoldás. Legyen

\begin{matrix} f (a_{0}) = u_{0}, f (a_{1}) = u_{1}, f (a_{2}) = u_{2}, \end{matrix}

azaz

\begin{matrix} a_{1} = - \frac{p}{2} \pm D_{i} (i = 0, 1, 2), \end{matrix}

ha t. i.

\begin{matrix} 4 D_{1}^{2} = p^{2} - 4 q + 4 u_{i} \geq 0. \end{matrix}

Bárhogyan állapítjuk meg, az

a_{0}, a_{1}, a_{2}

értékeket, mindig lesz közöttük legalább kettő, amelyekben a

D

előtt ugyanazon előjel áll. Két ilyen

a

-ra nézve

\begin{matrix} | a_{i} - a_{k} | = | D_{i} - D_{k} | = | \frac{\sqrt[]{p^{2} - 4 q + 4 u_{i}} - \sqrt[]{p^{2} - 4 q + 4 u_{k}}}{2} | . \end{matrix}

Minthogy a különbség abszolút értékéről van szó, feltehetjük, hogy

u_{i} > u_{k}

és így

\begin{matrix} \sqrt[]{p^{2} - 4 q + 4 u_{i}} - \sqrt[]{p^{2} - 4 q + 4 u_{k}} = \\ = \frac{4 (u_{i} - u_{k})}{\sqrt[]{(p^{2} - 4 q + 4 u_{k}) + 4 (u_{i} - u_{k})} + \sqrt[]{p^{2} - 4 q + 4 u_{k}}} ≦ \frac{4 (u_{i} - u_{k})}{2 \sqrt[]{u_{i} - u_{k}}} = 2 \sqrt[]{u_{i} - u_{k}}, \end{matrix}

ha t. i. a nevezőben a feltétel szerinti legkisebb

\begin{matrix} p^{2} - 4 q + 4 u_{k} = 0 \end{matrix}

értéket vesszük. Mivel pedig feltevéseink szerint

\begin{matrix} | u_{i} - u_{k} | \leq 2 \\ | a_{i} - a_{k} | = | D_{i} - D_{k} | ≦ \frac{2 \cdot \sqrt[]{2}}{2} = \sqrt[]{2} . \end{matrix}

Glosios Tibor (ág. ev. gimn. VIII. o. Bp.)

Jegyzet. A közölt megoldások a vizsgálatot valós

x

értékre szorítják; innen származik az eltérés, mely a szóban forgó különbségek abszolút értékének felső határában jelentkezik. A kitűzött feladatban ilyen megszorítás nem volt kijelentve, tehát

x

általában komplex változót jelent.
Pl. legyen

\begin{matrix} f (x) = x^{2} \end{matrix}

és

\begin{matrix} a_{0} = 1, a_{1} = \frac{- 1 + i \sqrt[]{3}}{2}, a_{2} = \frac{- 1 - i \sqrt[]{3}}{2} . \end{matrix}

Bármelyik

a

-val:

| f (a) | = 1

és

\begin{matrix} a_{1} - a_{2} = i \sqrt[]{3}, | a_{1} - a_{2} | = \sqrt[]{3} . \end{matrix}

A feladatot, ezek tekintetbevételével újra kitűzzük. (V. ö. ezen évf. 5. számában a 379. gyakorlathoz fűzött jegyzetet.)