Kezdőlap


Feladat:	453. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Aschenbrier E. , Barok Gy. , Brünn R. , Csiky J. , Erdős Pál , Ereky V. , Ernst F. , Etre S. , Freitag A. , Glosios T. , Grünwald T. , Hajós György , Hapka I. , Holczinger I. , ifj. vitéz Bátorffy Vilmos , Ignátz P. , Katz D. , Kelemen Sz. , Klein T. , Kohn P. , Kollmann Jolán , Kovács K. , Liebermann J. , Littauer P. , Magyarka F. , Mattyasovszky L. , Pápay M. , Papp Gy. , Papp L. , Radó Gy. , Sámuel J. , Schwarcz F. , Schwarz E. , Sebestyén J. , Sréter J. , Stern I. , Szebasztián Rózsa , Székely Gy. , Székely Lilly , Szolovits D. , Vági L. , Waldapfel L. , Walient P. , Wolf Ferenc
Füzet:	1929/március, 210 - 211. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Ellipszis egyenlete, Ellipszis, mint mértani hely, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1929/január: 453. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. Megoldás. Az ellipszis $P$ pontját az $O$ középponttal összekötő távolság: $O P = p$ . Mérjünk az $O P$ egyenesére $O P' = p \sqrt[]{3}$ távolságot; az így keletkező $P'$ pontok mértani helye szintén ellipszis lesz, az eredetihez hasonló és hasonló helyzetű. Ha ezen ellipszist $90^{\circ}$ -kal elforgatjuk, a szóban forgó egyenlő oldalú háromszögek harmadik csúcsának mértani helyét kapjuk.
Ugyanis, ha $P'$ a $90^{\circ}$ -os forgatás után $P''$ helyzetbe jutott, akkor

\begin{matrix} \bar{P P}'' = {({\bar{O P}}^{2} + \bar{O P}''^{2})}^{\frac{1}{2}} = {(p^{2} + 3 p^{2})}^{\frac{1}{2}} = 2 p . \end{matrix}

Ifj. vitéz Bátorffy Vilmos (Árpád rg. VIII. o. Bp. III.)

II. Megoldás. A szóban forgó háromszögek harmadik csúcsa felfogható, mint az ellipszis átmérőjére, a középponton át merőlegesen vont egyenesnek és az átmérő végpontjából, az átmérővel, mint sugárral szerkesztett kör közös pontja.
Legyen tehát az ellipszis egyenlete:

\begin{matrix} \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1. \end{matrix}

(1)

Az ellipszis

(x_{1}, y_{1})

pontján át húzott átmérő egyenlete:

y = \frac{y_{1}}{x_{1}} x

.
Az ellipszis középpontján átmenő, az előbbire merőleges egyenes egyenlete:

\begin{matrix} y = - \frac{x_{1}}{y_{1}} x . \end{matrix}

(2)

(x_{1}, y_{1})

pontból, mint középpontból az

r = 2 {(x_{1}^{2} + y_{1}^{2})}^{\frac{1}{2}}

a sugárral szerkesztett kör egyenlete:

\begin{matrix} {(x - x_{1})}^{2} + {(y - y_{1})}^{2} = 4 (x_{1}^{2} + y_{1}^{2}) . \end{matrix}

(3)

A keresett pontok

(ξ, η)

koordinátáinak ki kell elégíteniök a (2) és (3) egyenletekből álló rendszert, azaz

\begin{matrix} η & = - \frac{x_{1}}{y_{1}} ξ & (2a) \\ és {(ξ - x_{1})}^{2} + {(η - y_{1})}^{2} & = 4 (x_{1}^{2} + y_{1}^{2}) . & (3a) \end{matrix}

A (2a) és (3a) egyenletekből pedig:

\begin{matrix} ξ^{2} = 3 y_{1}^{2} és η^{2} = 3 x_{1}^{2} . \end{matrix}

Azonban

x_{1}

és

y_{1}

kielégítik az (1) egyenletet, tehát

ξ

és

η

\begin{matrix} \frac{η^{2}}{3 a^{2}} + \frac{ξ^{2}}{3 b^{2}} = 1. \end{matrix}

egyenlet által meghatározott ellipszis pontjaihoz tartozó koordináták.

Wolf Ferenc (áll. reál VIII. o. Szombathely)