Kezdőlap


Feladat:	424. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bakay B. , Barok Gy. , Beke I. , Bohdeneczky I. , Csiky J. , Dénes P. , Erdős Pál , Etre S. , Faragó László , Faragó T. , Feldheim E. , Gohn E. , Grossmann S. , Hajós György , Holczinger I. , Ignátz P. , Jacobi A. , Jánky Mária , Katz D. , Kiss Gy. , Kmoschek P. , Kohn P. , Kohn T. , Kovács K. , Liebermann J. , Lindtner P. , Pápay M. , Papp L. , Radó Gy. , Sámuel J. , Schwarcz F. , Sebestyén J. , Sebők Gy. , Simon Ágoston , Skrilecz A. , Soos Gy. , Straubert J. , Székely Lilly , Szolovits D. , Vági L. , Varga T.
Füzet:	1929/január, 141 - 142. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1928/november: 424. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az (1) és (2) egyenlet megfelelő tagjait kivonva egymásból

\begin{matrix} x y + y^{2} - x z - z^{2} = x (y - z) + (y - z) (y + z) = (x + y + z) (y - z) = 4 \end{matrix}

(4)

egyenlethez jutunk. A (2) és (3) egyenlet tagjaival hasonló módon eljárva, lesz:

\begin{matrix} (x + y + z) (y - x) = 10. \end{matrix}

(5)

(4) és (5) alapján:

\begin{matrix} x + y + z = \frac{4}{y - z} = \frac{10}{y - x} . \end{matrix}

(6)

A (6) elsőfokú egyenlet

x

y

z

között; fejezzük kisebből pl.

z

-t:

\begin{matrix} 2 (y - x) = 5 (y - z) és innen z = \frac{3 y + 2 x}{5} . \end{matrix}

(7)

Helyettesítsük most már

z

-nek ezen értékét a (2)-be; a kijelölt műveletek végrehajtása, a törtek eltávolítása és összevonás után:

\begin{matrix} 13 x^{2} + 9 x y + 3 y^{2} = 25. \end{matrix}

(8)

A (8) és (1) eszerint

x

és

y

meghatározását lehetővé teszik; a két egyenletből kiküszöböljük az egyik ismeretlen, pl.

y

négyzetét, miáltal

y

-ra elsőfokú egyenletet nyerünk. Ebből

y

-t kifejezzük és az (1) vagy (8) egyenletbe helyettesítjük. Szorozzuk meg tehát az (1) egyenlet tagjait 3-mal és vonjuk ki a (8) egyenlet megfelelő tagjaiból:

\begin{matrix} 10 x^{2} + 6 x y = 4, ahonnan y = \frac{2 - 5 x^{2}}{3 x} . \end{matrix}

(9)

Ha ezt (1)-be helyettesítjük,

x^{2}

-re nézve másodfokú egyenlethez jutunk:

\begin{matrix} x^{2} + \frac{2 - 5 x^{2}}{3} + \frac{4 - 20 x^{2} + 25 x^{4}}{9 x^{2}} = 7; \end{matrix}