Kezdőlap


Feladat:	421. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Barok Gy. , Erdős Pál , Etre S. , Fischer Gy. , Glosios T. , Hajós György , Klein T. , Kohn P. , Pápay M. , Papp L. , Schwarcz F. , Szebasztián Rózsa , Szolovits D. , Turán Pál
Füzet:	1929/február, 174 - 175. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Binomiális együtthatók, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1928/november: 421. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

$1^{\circ}$ . Az

\begin{matrix} (n, k) = (n - 1, k) + (n + 1, k - 1) \end{matrix}

egyenletben kifejezett képezés szabályát alkalmazzuk úgy, hogy az egyes oszlopok

\begin{matrix} \begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & ... \\ 1 & - 1 & 0 & 0 & 0 & . \\ 1 & 0 & - 1 & 0 & 0 & . \\ 1 & 1 & - 1 & - 1 & 0 & . \\ 1 & 2 & 0 & - 2 & - 1 \\ 1 & 3 & 2 & - 2 & - 3 \\ 1 & 4 & 5 & 0 & - 5 \\ 1 & 5 & 9 & 5 & - 5 \\ 1 & 6 & 14 & 14 & 0 \\ 1 & 7 & 20 & 28 & 14 & . \\ 1 & 8 & 27 & 48 & 42 & . \\ . & . & . & . & . & . \end{matrix} \end{matrix}

üresen álló helyeit is kitöltsük, mégpedig minden oszlopban

2 (k - 1)

helyet. Ha most

r

a sorszámot jelenti, amelyet így minden oszlopban a legfelsőtől kezdve számítunk, akkor a képezés szabályát így írhatjuk:

\begin{matrix} (r, k) = (r - 1, k) + (r - 1, k - 1), \end{matrix}

ahol

\begin{matrix} r = n + 2 (k - 1) \end{matrix}

Mindegyik oszlop tagjai a rákövetkező oszlop tagjainak különbségi sorát alkotják, azaz a második oszlop tagjai elsőrendű, a harmadikéi másodrendű, s. i. t. a

k

-ik oszlop tagjai

(k - 1)

-ed rendű aritmetikai haladványt alkotnak; Egy ilyen sor

r

-ik tagja

A_{r}^{(k)}

, kifejezhető az egymásután következő differenciasorok első tagjaiból, mégpedig

\begin{matrix} A_{r}^{(k)} = A_{1}^{(k)} + (\binom{r - 1}{1}) Δ_{1}^{(1)} + (\binom{r - 1}{2}) Δ_{1}^{(2)} + (\binom{r - 1}{3}) Δ_{1}^{(3)} + ... + (\binom{r - 1}{k - 2}) Δ_{1}^{(k - 2)} + (\binom{r - 1}{k - 1}) Δ_{1}^{(k - 1)}, \end{matrix}

ahol

A_{1}^{(k)}

k

-dik oszlop azaz egy

k - 1

-ed rendű haladvány első tagját jelenti,

Δ_{1}^{(1)}, Δ_{1}^{(2)}, Δ_{1}^{(3)}, ... Δ_{1}^{(k - 1)}, Δ_{1}^{(k - 1)}

, rendre az első, második, harmadik,

(k - 2)

-ik,

(k - 1)

-ik differencia sor kezdő tagjait jelentik. Amint említettük, ezek a mi esetünkben rendre a

(k - 1)

-ik,

(k - 2)

-ik,

...

második, első oszlop kezdő tagjai, amelyek a legfelső sorban állanak; tehát

\begin{matrix} A_{1}^{(k)} = 0, Δ_{1}^{(1)} = 0, Δ_{1}^{(2)} = 0, ... Δ_{1}^{(k - 3)} = 0, Δ_{1}^{(k - 2)} = - 1, Δ_{1}^{(k - 1)} = 1 \end{matrix}

és így

\begin{matrix} A_{r}^{(k)} = (\binom{r - 1}{k - 1}) - (\binom{r - 1}{k - 2}) . \end{matrix}

Erdős Pál (Szent István rg. VII. o. Bp.)

2^{\circ}

\begin{matrix} (\binom{r - 1}{k - 1}) = \frac{(r - 1)!}{(k - 1)! (r - k)!}; (\binom{r - 1}{k - 2}) = \frac{(r - 1)!}{(k - 2)! (r - k + 1)!} \end{matrix}

Hogy a kivonást elvégezhessük, közös nevezőre hozunk; ez

\begin{matrix} (k - 1)! (r - k + 1)! \end{matrix}

lesz és így az első tag számlálóját

(r - k + 1)

, a másodikét

(k - 1)

-gyel kell szoroznunk

\begin{matrix} (\binom{r - 1}{k - 1}) - (\binom{r - 1}{k - 2}) = \frac{(r - 1)! (r - k + 1) - (r - 1)! (k - 1)}{(k - 1)! (r - k + 1)!} = \frac{(r - 1)! (r - 2 k + 2)}{(k - 1)! (r - k + 1)!} = \\ \frac{(r - 2 k + 2)}{r} \cdot \frac{r!}{(k - 1)! (r - k + 1)!} = \frac{r - 2 k + 2}{r} \cdot (\binom{r}{k - 1}) . \end{matrix}

Térjünk most vissza az eredeti jelzésre, azaz

r

helyébe tegyük

(n + 2 k - 2)

-t.

\begin{matrix} A_{r}^{(k)} = (n, k) = (\binom{n + 2 k - 3}{k - 1}) - (\binom{n + 2 k - 3}{k - 2}) = \frac{n}{n + 2 k - 2} (\binom{n + 2 k - 2}{k - 1}) . \end{matrix}

Turán Pál, I. é. bh. Bp.