Kezdőlap


Feladat:	414. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Barok Gy. , Brünn R. , Buzna V. , Faragó Tibor , Hajós György , Ignátz P. , Jacobi A. , Katz D. , Klein T. , Kohn P. , Pápay M. , Papp L. , Pomóthy D. , Sebestyén J. , Sebők Gy. , Soldinger J. , Sréter J. , Vági L. , Wolf F.
Füzet:	1928/december, 107 - 108. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenlőtlenségek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1928/október: 414. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az egyenlőtlenség baloldalán álló kifejezés, mint $z$ másodfokú függvénye fogható fel; a négyzetes tag előjele negatív és így a másodfokú függvény $z$ minden értékénél negatív, ha a discriminánsa is negatív.

\begin{matrix} f (z) \equiv - 27 z^{2} + (18 x y - 4 x^{3}) z + x^{2} y^{2} - 4 y^{3} \end{matrix}

discriminánsa

\begin{matrix} D \equiv 4 {(9 x y - 2 x^{3})}^{2} + 108 (x^{2} y^{2} - 4 y^{3}) . \end{matrix}

A kijelölt műveleteket elvégezzük és összevonunk; ezáltal

\begin{matrix} D \equiv 16 (x^{6} - 9 x^{4} y + 27 x^{2} y^{2} - 27 y^{3}) \equiv 16 {(x^{2} - 3 y)}^{3} . \end{matrix}

Ha tehát

x^{2} - 3 y < 0

, akkor egyszersmind

{(x^{2} - 3 y)}^{3} < 0

és

D < 0

; ezért

f (z) < 0

z

minden érlékénél, hacsak

x^{2} - 3 y < 0

Faragó Tibor (ref. ginm. VII. o. Debrecen)