Kezdőlap


Feladat:	403. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Barok Gy. , Bartos Gy. , Bauer J. , Beck M. , Brucker Pál , Brünn R. , Buzna V. , Csiky J. , Erdélyi L. , Etre S. , Eördögh Z. , Faragó László , Faragó Loránd , Fekete F. , Feldheim E. , Fenyves F. , Fodor L. , Fraknói G. , Führer P. , Gillich E. , Glosios T. , Grünwald T. , Gyarmati J. , Hajós Gy. , Hapka I. , Ignátz P. , Jacobi A. , Katz D. , Klein T. I. , Klein T. II. , Kohn P. , Kozma F. , Krebs A. , Liebermann J. , Littauer P. , Pápay M. , Papp L. , Párducz N. , Radó Gy. , Salkovits E. , Sebestyén J. , Soldinger J. , Soos G. , Sréter J. , Stern M. , Straubert J. , Székely I. , Székely L. , Szolovits D. , Sztruhár L. , Walient P. , Zerkovitz B.
Füzet:	1928/november, 81 - 82. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Körök, Négyszögek szerkesztése, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1928/szeptember: 403. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Tegyük fel, hogy a követelményeknek megfelelő $A B C D$ paralelogrammát megszerkesztettük. Ha $A D ∥ B C$ , ill. $A D ∥ A' C$ , akkor az $A D$ és $A' C$ párhuzamos húrok között az $(O_{2})$ körben egyenlő ívek és ezekhez egyenlő húrok tartoznak, tehát $C D = A A'$ . Azonban $C D = A B$ és így $A B = A A'$ .

Ebből a következő szerkesztés adódik: az

A

pontból, a két kör közös

A A'

húrjával, mint sugárral kört rajzolunk, mely az

(O_{1})

és

(O_{2})

körök mindegyikét ‐ az

A'

-n kívül ‐ még egy-egy pontban metszi, mégpedig az

(O_{1})

-et

B_{1}

-ben, az

(O_{2})

-t

B_{2}

-ben.

B_{1} A'

egyenes az

(O_{2})

kört

C_{1}

-ben metszi, míg végül

C_{1} D_{1} = A B_{1}

meghatározza a

D_{1}

pontot.

\begin{matrix} (C_{1} D_{1} = A B_{1} = A A', tehát A D_{1} ∥ B_{1} C_{1} és C_{1} D_{1} ∥ A B_{1} .) \end{matrix}

B_{2} A'

egyenes az

(O_{1})

kört

C_{2}

-ben metszi;

C_{2} D_{2} = A B_{2}

meghatározza a

D_{2}

pontot. Az

A B_{2} C_{2} D_{2}

is a követelménynek megfelelő paralelogramma.

Brucker Pál (Kemény Zsigmond főreál VIII. o. Bp.)

Jegyzet.

O_{1} A

sugár felezi a

B_{1} A A'

ívet

(B_{1} A = A A')

, tehát

O_{1} A ⊥ B_{1} A'

és így

O_{1} A ⊥ A D_{1}

, azaz

A D_{1}

(O_{1})

kört

A

pontban érinti. Hasonlóan

A D_{2}

(O_{2})

kör érintője az

A

pontban. A szerkesztés általában lehetséges. Ha

A A'

a kisebbik kör átmérője, az egyik paralelogramma határesetéül tekinthetjük a nagyobbik körbe írt téglalapot, melynek egyik oldala

A A'

. (

A'

és

B_{1}

összeesik.)

Kiegészítés. Az előbb meghatározott paralelogrammák mindegyikében 3 csúcs fekszik az egyik körön, az

A

csúcsból kiindulva, sorban egymásután, t. i. az

A

D_{1}

C_{1}

(O_{2})

körön, az

A

D_{2}

C_{2}

(O_{1})

körön. Hajós György kimutatta, hogy kaphatunk még két paralelogrammát, melyeknél szintén 3 csúcs az egyik körön fekszik, de ezeknél az

A

közbül esik, ezek az

A B_{3} C_{3} D_{3}

és

A B_{4} C_{4} D_{4}

.
A

C_{3}

és

D_{3}

azon pontok, amelyekben

B_{1} D_{1}

átló metszi az

(O_{1})

, ill.

(O_{2})

kört.

A' D_{3}

meghatározza

(O_{1})

körön a

B_{3}

pontot. Az

(O_{1})

körben

\hat{A C_{3} B_{1}}

és

\hat{A B_{3} D_{3}} \equiv \hat{A B_{3} A'}

egyenlő kerületi szögek, mert az

A B_{1}

és

A A'

húrok egyenlők.
Az

(O_{2})

körben

\hat{A' D_{3} D_{1}}

és

\hat{A' A D_{1}}

szintén egyenlő kerületi szögek. De a jegyzet értelmében

A D_{1} ⊥ O A_{1}

, másrészt

A A' ⊥ O_{1} O_{2}

¹ és így az

\begin{matrix} A O_{1} O_{2} ∢ = A' A D_{1} ∢ = A' D_{3} D_{1} ∢ . \end{matrix}

Azonban az

\hat{A O_{1} O_{2}}

(O_{1})

körben, mint középponti szög az

\hat{A A'}

ívhez tartozó kerületi szögekkel egyenlő és így

A' D_{3} D_{1} ∢ = A B_{3} A' ∢

, amiből következik, hogy

A B_{3} ∥ C_{3} D_{3}

, ill.

A C_{3} ∥ B_{3} D_{3}

. Eszerint

A B_{3} C_{3} D_{3}

is paralelogramma, melynek egyik csúcsa

A

B_{3} D_{3}

oldala keresztülmegy az

A'

csúcson.
Hasonlóan mutathatjuk ki, hogy a

B_{2} D_{2}

átló által meghatározott

C_{4}

és

D_{4}

pontok azon paralelogramma csúcsai, melynek

B_{4}

csúcsa az

A' D_{4}

egyenes és az

(O_{2})

kör második közös pontja.

¹Ábránkban az

O_{1} A

és

O_{1} O_{2}

vonalakat nem húztuk meg.