Feladat: 400. matematika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Barok Gy. ,  Erdélyi L. ,  Erdős Pál ,  Etre S. ,  Faragó László ,  Farkas P. ,  Fenyves F. ,  Glosios Tibor ,  Grünwald Gy. ,  Grünwald Tibor ,  Hajós György ,  Ignátz P. ,  Jacobi Arisztid ,  Kelemen Sz. ,  Klein T. ,  Knuth K. ,  Kohn P. ,  Krebs A. ,  Lindtner P. ,  Manns S. ,  Pápay Miklós ,  Papp L. ,  Schlégl Gy. ,  Schwarcz E. ,  Schwarcz F. ,  Sebestyén J. ,  Sebők Gy. ,  Székely Lilly ,  Szolovits D. ,  Waldapfel L. ,  Zwirn Gy. 
Füzet: 1928/november, 79 - 80. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Kombinációk, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1928/szeptember: 400. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. Megoldás. Tegyük fel, hogy 2n-2 elemből megalkottuk egy bizonyos módon a párokat; az ilyen páros beosztások száma legyen f(2n-2).
Vegyünk most a 2n-2 elemhez még 2-t. Ezen kettő párjához kapcsolható f(2n-2) beosztás. Azonban az új két elem egyikét összekapcsolhatom még a többi 2n-2 elem mindegyikével és az így keletkező párok mindegyikéhez a többi 2n-2 elemből f(2n-2) beosztás tartozik. Ilyen módon a 2n elemből képezett páros beosztások száma:

f(2n)=(2n-1)f(2n-2).

Ha n=1, f(2)=1; tehát
f(4)=3⋅1;f(6)=5⋅3⋅1;f(8)=7⋅5⋅3⋅1f(2n)=(2n-1)(2n-3)(2n-5)...5⋅3⋅1.

qmedskip
Grünwald Tibor (Br. Eötvös József főreál VIII. o. Bp. IV.)
 

II.Megoldás. Ha a 2n elemből 2-t már kiválasztottunk, a többiből (2n-22) párt alkothatunk és ezek mindegyikével összekapcsolhatjuk az első párt; ha már két párunk van, akkor (2n-42) pár mindegyikét kapcsolhatjuk az előbbi két párhoz s. í. t. Ilyen módon
(2n2)(2n-22)(2n-42)...(42)(22)=2n(2n-1)(2n-2)(2n-3)...4⋅3⋅2⋅12⋅2⋅2...2=(2n)!2n
páros beosztás keletkezik. Azonban vannak páros beosztások, ahol a párok ugyanazok, csak sorrendjük más, még pedig minden páros beosztás n! sorrendben szerepel. Eszerint a különböző páros beosztások száma
(2n)!2n⋅n!.

Jacobi Arisztid (Berzsenyi Dániel rg. VIII. o. Bp.)
 

Jegyzet. A második megoldásban nyert eredmény:
(2n)!2n⋅n!=1⋅2⋅3⋅4...(2n-1)2n(2⋅1)⋅(2⋅2)⋅(2⋅3)...[2(n-1)](2n)=1⋅3⋅5⋅7...(2n-1)
megegyezik az I. megoldásban nyert értékkel.
 

Pápay Miklós (Verseghy Ferenc rg. VIII. o. Szolnok)

Glosios Tibor (ág. ev. g. VII. o. Bp.)