Kezdőlap


Feladat:	395. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Beke I. , Bolgár Gy. , Buzna V. , Camhi S. , Csiky J. , Erdélyi L. , Erdős Pál , Etre S. , Feldheim E. , Glosios T. , Góber Gy. , Grünwald T. , Hajós György , Hapka István , Holczinger I. , Ignátz P. , Jacobi A. , Jónás P. , Katz D. , Kiss Gy. , Klein T. , Kovács K. , Nagy J. , Pápay Miklós , Párducz N. , Sámuel J. , Schlégl Gy. , Sebestyén J. , Sebők Gy. , Sebők I. , Simon Á. , Sréter J. , Székely Gy. , Székely Lilly , Szolovits D. , Traub Bella , Török I. , Walient P.
Füzet:	1928/november, 76. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Paraméteres egyenletek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1928/szeptember: 395. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. Megoldás. Legyen

\begin{matrix} f (x) \equiv a x^{2} + b x + c \end{matrix}

Ha ugyanis

a = c

, akkor a két kifejezés azonos, minden feltétel nélkül van két elsőfokú közös osztójuk.

f (x)

és

g (x)

minden közös osztója osztója a különbségüknek is:

\begin{matrix} f (x) - g (x) = (a - c) (x^{2} - 1) \end{matrix}

f (x)

és

g (x)

elsőfokú közös osztója eszerint vagy

x + 1

vagy

x - 1

.
Ha az adott kifejezéseket

(x + 1)

-gyel osztjuk, a maradék

\begin{matrix} a - b + c . \end{matrix}

Ha az osztó

(x - 1)

, a maradék

\begin{matrix} a + b + c . \end{matrix}

Eszerint az oszthatóság szükséges és elégséges feltétele:

a \pm b + c = 0

Pápay Miklós (Verseghy Ferenc rg. VIII. o. Szolnok)

II. Megoldás. Ha a két kifejezésnek van elsőfokú közös osztója; akkor az

\begin{matrix} a x^{2} + b x + c = 0 és c x^{2} + b x + a = 0 \end{matrix}

egyenleteknek van közös gyökük, tehát rezultánsuk zérus, azaz

\begin{matrix} {(a^{2} - c^{2})}^{2} - {(a b - b c)}^{2} = 0. \end{matrix}

Tényezőkre bontással:

[a^{2} - c^{2} + b (a - c)] [a^{2} - c^{2} - b (a - c)] = 0

\begin{matrix} (a - c) (a + b + c) (a - c) (a - b + c) = 0. \end{matrix}

a = c

, a két kifejezés azonos; kizárva tehát ezen esetet
vagy

\begin{matrix} a + b + c = 0 vagy a - b + c = 0. \end{matrix}

Hapka István (Dugonics András g. VII. o. Szeged)