Kezdőlap


Feladat:	378. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bakos T. , Hajós György , Klein Eszter , Molnár L. , Scholcz P. , Szekeres Gy. , Tóvárosi Fischer György , Turán Pál
Füzet:	1928/szeptember, 18 - 21. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Parabola egyenlete, Hiperbola egyenlete, Hiperbola, mint mértani hely, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1928/április: 378. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. Megoldás. Az adott $α$ szög szárai érintsék az $y^{2} = 2 p x$ parabolát; adva van $tg α = m$ .
A parabolának ( $x_{1}$ , $y_{1}$ ), ill. ( $x_{2}$ , $y_{2}$ ) pontjában húzott érintő egyenlete:

\begin{matrix} y y_{1} - p (x + x_{1}) = 0, \end{matrix}

(1)

ill.

\begin{matrix} y y_{2} - p (x + x_{2}) = 0. \end{matrix}

(2)

Tekintettel arra, hogy

y_{1}^{2} = 2 p x_{1}

, és

y_{2}^{2} = 2 p x_{2}

, az érintők egyenlete így is írható:

\begin{matrix} 2 p x - 2 y_{1} y + y_{1}^{2} = 0, \end{matrix}

(1a)

ill.

\begin{matrix} 2 p x - 2 y_{2} y + y_{2}^{2} = 0. \end{matrix}

(2a)

Az (1a) és (2a) érintők metszéspontjának koordinátáit kell kiszámítanunk. Az (1a) és (2a) elsőfokú egyenletekből álló rendszerre nézve:

\begin{matrix} D = | \begin{matrix} 2 p & - 2 y_{1} \\ 2 p & - 2 y_{2} \end{matrix} | = 4 p (y_{1} - y_{2}); \end{matrix}