Kezdőlap


Feladat:	372. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Hajós György , Jónás P. , Pápay Miklós , Párducz N. , Scholcz P. , Szekeres Gy. , Turán Pál , Wachsberger Márta
Füzet:	1928/szeptember, 13 - 14. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szélsőérték-feladatok differenciálszámítás nélkül, Anyagok keverése és töltögetése, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1928/április: 372. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Öntsünk az $m$ liter vízből először $x$ l.-t a hordóba; az így előálló $(x + n)$ l. Keverékliterjében $\frac{n}{x + n}$ l. vörös bor lesz és a kiöntés után bennmaradó $n_{1}$ l. keverékben $\frac{n n_{1}}{x + n}$ l. vörös bor.
Másodízben öntsünk az $n_{1}$ liter keverékhez $y$ l. vizet; így az $(y + n_{1})$ l. keverék literében $\frac{n n_{1}}{(x + n) (y + n_{1})}$ l. és a kiöntés után bennmaradó $n_{1}$ l. keverékben $\frac{n n_{1}^{2}}{(x + n) (y + n_{1})}$ l. vörös bor lesz.
A harmadik ízben $z$ l. vizet öntünk a keverékhez; ennek literjében tehát

\begin{matrix} U = \frac{n n_{1}^{2}}{(x + n) (y + n_{1}) (z + n_{1})} \end{matrix}

liter vörös bor marad. Az

U

-nak minimuma van akkor, amidőn a nevezőnek maximuma van; a nevezőben álló három tényező összege állandó, t. i.

\begin{matrix} (x + y + z) + n + 2 n_{1} = m + n + 2 n_{1} . \end{matrix}

Eszerint a nevezőnek maximuma lesz, ha a tényezők egyenlők,¹ azaz:

\begin{matrix} x + n = y + n_{1} = z + n_{1} = \frac{m + n + 2 n_{1}}{3} \end{matrix}

ahonnan:

\begin{matrix} x = \frac{m + 2 n_{1} - 2 n}{3}; y = z = \frac{m + n - n_{1}}{3} . \end{matrix}

Az adott esetben

x = 6

l.;

y = z = 5, 9

Pápay Miklós (Verseghy Ferenc rg. VII. o. Szolnok.)

¹ L. IV. évf. 8. az 236. oldalon a ,,Jegyzetet''.