Kezdőlap


Feladat:	371. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Hajós György , Klein Eszter , Molnár L. , Papp László , Szekeres Gy. , Turán Pál , Wachsberger Márta , Wolkóber L.
Füzet:	1928/szeptember, 12 - 13. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Összefüggések binomiális együtthatókra, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1928/április: 371. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

$1^{\circ}$ . A 359. feladatban^{$^{*}$} láttuk ( $1^{\circ}$ . alatt), hogy

\begin{matrix} (\binom{n}{k}) + (\binom{n}{k - 1}) (\binom{m}{1}) + (\binom{n}{k - 2}) (\binom{m}{2}) + ... + (\binom{m}{k}) = (\binom{n + m}{k}) . \end{matrix}

Legyen most

m = k = n

. Ekkor

(\binom{n}{k}) = (\binom{n}{n}) = 1

;

(\binom{n}{k - 1}) (\binom{m}{1}) = (\binom{n}{n - 1}) (\binom{n}{1}) = {(\binom{n}{1})}^{2}

;

\begin{matrix} (\binom{n}{k - 2}) (\binom{m}{2}) = (\binom{n}{n - 2}) (\binom{n}{2}) = {(\binom{n}{2})}^{2} s. i. t.... (\binom{m}{k}) = {(\binom{n}{n})}^{2}; (\binom{n + m}{k}) = (\binom{2 n}{n}) . \end{matrix}

Tehát

\begin{matrix} 1 + {(\binom{n}{1})}^{2} + {(\binom{n}{2})}^{2} + ... + {(\binom{n}{n})}^{2} = (\binom{2 n}{n}) . \end{matrix}

(1)

2^{\circ}

. Ugyanott (

2^{0}

. alatt) láttuk, hogy

\begin{matrix} (\binom{n}{2 k}) - (\binom{n}{2 k - 1}) (\binom{n}{1}) + (\binom{n}{2 k - 2}) (\binom{n}{2}) - ... + (\binom{n}{2 k}) = {(- 1)}^{k} (\binom{n}{k}) . \end{matrix}

Tegyünk

n

helyébe

2 n

-t és

k

helyébe

n

-t; így

\begin{matrix} (\binom{n}{2 k}) helyett lesz (\binom{2 n}{2 n}) = 1; (\binom{n}{2 k - 1}) (\binom{n}{1}) helyett = (\binom{2 n}{2 n - 1}) (\binom{n}{1}) = {(\binom{2 n}{1})}^{2}; \\ (\binom{n}{2 k - 2}) (\binom{n}{2}) helyett (\binom{2 n}{2 n - 2}) (\binom{2 n}{2}) s. i. t. Eszerint \\ 1 - {(\binom{2 n}{1})}^{2} + {(\binom{2 n}{2})}^{2} - {(\binom{2 n}{3})}^{2} + ... + (\binom{2 n}{2 n}) = {(- 1)}^{n} (\binom{2 n}{n}) . & (2) \end{matrix}

3^{\circ}

. A 349.

1^{\circ}

. összefüggésben legyen

m = n

és

k

helyett írjunk

2 k

-t; lesz:

\begin{matrix} (\binom{n}{2 k}) + (\binom{n}{2 k - 1}) (\binom{n}{1}) + (\binom{n}{2 k - 2}) (\binom{n}{2}) + ... + (\binom{n}{2 k}) = (\binom{2 n}{2 n}) . \end{matrix}

(3a)

Adjuk ehhez a 359.

2^{\circ}

. összefüggés megfelelő tagjait:

\begin{matrix} (\binom{n}{2}) + (\binom{n}{2 k - 2}) (\binom{n}{2}) + ... + (\binom{n}{2 k}) = \frac{1}{2} [(\binom{2 n}{2 k}) + {(- 1)}^{k} (\binom{n}{k})] . \end{matrix}

(3)

4^{\circ}

. A (3a) alatti egyenlet tagjaiból vonjuk ki a 359.

2^{\circ}

. egyenlet megfelelő tagjait:

\begin{matrix} (\binom{n}{1}) (\binom{n}{2 k - 1}) + (\binom{n}{3}) (\binom{n}{2 k - 3}) + ... + (\binom{n}{2 k - 1}) (\binom{n}{1}) = \frac{1}{2} [(\binom{2 n}{2 k}) - {(- 1)}^{k} (\binom{n}{k})] . \end{matrix}

Papp László (Koháry István rg. VII. o. Gyöngyös.)

^{$^{*}$}IV. évf. 9. 10. sz.