Feladat: 360. matematika feladat Korcsoport: 18- Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Balla B. ,  Bolgár Gy. ,  Buzna V. ,  Csalán E. ,  Dénes Gy. ,  Erdős Pál ,  Etre S. ,  Gregor A. ,  Hajós György ,  Hapka I. ,  Ignátz P. ,  Jónás P. ,  Klein M. ,  Klein T. ,  Kökény S. ,  Molnár L. ,  Pápay Miklós ,  Párducz N. ,  Pollák A. ,  Scholcz P. ,  Sréter J. ,  Szekeres Gy. ,  Szmodics Zoltán ,  Turán Pál ,  Wachsberger Márta ,  Wolf F. 
Füzet: 1928/május, 269 - 270. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Szélsőérték differenciálszámítással, Egyenletek grafikus megoldása, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1928/március: 360. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az r sugarú kör tetszőleges P pontjából, mint középpontból rajzolt ϱ sugarú kör az előbbit A és B pontokban metszi. Az APB^ szög mérőszáma legyen 2x, az AB^ ív hossza y; tehát

y=2ϱx,ahol0<x<π2.

Az AOP egyenlőszárú háromszögből: ϱ=2rcosx és így
y=4rxcosx.

Ezen függvénynek szélsőértéke azon x helyen lehet, ahol
y'=4r(cosx-xsinx)=0  azaz  x=cotgx.

y' ezen egyenletet kielégítő x helyen poz. értékekből megy át a negatív értékekbe, tehát y-nak ezen a helyen maximuma van. 1
Az x=cotgx egyenlet megoldását grafikusan láthatjuk, ha az y=cotgx függvényt ábrázoljuk 0 és π között; ezen függvény görbéjét az y=x egyenes abban a pontban metszi, amelynek abscissája a kívánt x érték. Ilyen csak egy van: 0 és π2 között. Mégpedig x=0,860 (fokokban 4917'36,5'') és ϱ=2rcosx=1,304r.
 

Pápay Miklós (áll. Verseghy Ferenc rg. VII. o. Szolnok)

1Ugyanis ezen x hely környezetében cos(x-ε)>cosx; (x-ε)sin(x-ε)<xsinx, tehát y'>0 az x-ε helyen. Azonban cos(x+ε)<cosx és (x+ε)sin(x+ε)>xsinx, ezért y'<0 az x+ε helyen.