Kezdőlap


Feladat:	360. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Balla B. , Bolgár Gy. , Buzna V. , Csalán E. , Dénes Gy. , Erdős Pál , Etre S. , Gregor A. , Hajós György , Hapka I. , Ignátz P. , Jónás P. , Klein M. , Klein T. , Kökény S. , Molnár L. , Pápay Miklós , Párducz N. , Pollák A. , Scholcz P. , Sréter J. , Szekeres Gy. , Szmodics Zoltán , Turán Pál , Wachsberger Márta , Wolf F.
Füzet:	1928/május, 269 - 270. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szélsőérték differenciálszámítással, Egyenletek grafikus megoldása, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1928/március: 360. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az $r$ sugarú kör tetszőleges $P$ pontjából, mint középpontból rajzolt $ϱ$ sugarú kör az előbbit $A$ és $B$ pontokban metszi. Az $\hat{A P B}$ szög mérőszáma legyen $2 x$ , az $\hat{A B}$ ív hossza $y$ ; tehát

\begin{matrix} y = 2 ϱ x, ahol 0 < x < \frac{π}{2} . \end{matrix}

A O P

egyenlőszárú háromszögből:

ϱ = 2 r cos x

és így

\begin{matrix} y = 4 r x cos x . \end{matrix}

Ezen függvénynek szélsőértéke azon

x

helyen lehet, ahol

\begin{matrix} y' = 4 r (cos x - x sin x) = 0 azaz x = cotg x . \end{matrix}

y'

ezen egyenletet kielégítő

x

helyen poz. értékekből megy át a negatív értékekbe, tehát

y

-nak ezen a helyen maximuma van. ¹
Az

x = cotg x

egyenlet megoldását grafikusan láthatjuk, ha az

y = cotg x

függvényt ábrázoljuk

0

és

π

között; ezen függvény görbéjét az

y = x

egyenes abban a pontban metszi, amelynek abscissája a kívánt

x

érték. Ilyen csak egy van:

0

és

\frac{π}{2}

között. Mégpedig

x = 0, 860

(fokokban

49^{\circ} 17' 36, 5''

) és

ϱ = 2 r cos x = 1, 304 r

Pápay Miklós (áll. Verseghy Ferenc rg. VII. o. Szolnok)

¹Ugyanis ezen

x

hely környezetében

cos (x - ε) > cos x

;

(x - ε) sin (x - ε) < x sin x

, tehát

y' > 0

x - ε

helyen. Azonban

cos (x + ε) < cos x

és

(x + ε) sin (x + ε) > x sin x

, ezért

y' < 0

x + ε

helyen.