Feladat: 340. matematika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Blahó Magda ,  Bolgár J. ,  Boschán Anna ,  Brüll F. ,  Bucsy I. ,  Böszörményi Gy. ,  Csalán E. ,  Csiky J. ,  Dezső E. ,  Doktorits I. ,  Dvorzsák Zs. ,  Eckstein J. ,  Erdélyi L. ,  Erdős Péter ,  Etre S. ,  Faragó L. ,  Farkas P. ,  Fejes T. ,  Feldheim E. ,  Fuchs S. ,  Földes F. ,  Gerő L. ,  Glatz L. ,  Glosios T. ,  Gregor A. ,  Grünwald T. ,  Hajós György ,  Hapka I. ,  Herczeg T. ,  Holczinger I. ,  Horváth J. ,  Händler Gy. ,  Ignátz P. ,  Izr. rg. VI. o. Debrecen ,  Jacobi A. ,  Jónás P. ,  Juvancz I. ,  Kiss Gyula ,  Klein Eszter ,  Klein M. ,  Klein T. ,  Kohn P. ,  Kozma A. ,  Kraszna Gy. ,  Krausz Erzsébet ,  Ligeti M. ,  Lindtner P. ,  Mahler E. ,  Márkus L. ,  Mendik A. ,  Menzl P. ,  Mészáros E. ,  Molnár L. ,  Mózsa E. ,  Nádor L. ,  Papp L. ,  Párducz N. ,  Patai Gy. ,  Pécsi Gizella ,  Petrovits G. ,  Pollák A. ,  Radó Gy. ,  Rappaport D. ,  Rónai Gy. ,  Rosenthal E. ,  Schlégl Gy. ,  Schlüssler E. ,  Scholcz P. ,  Schopp J. ,  Sebestyén J. ,  Sebők Gy. ,  Simon Á. ,  Soldinger J. ,  Somogyi L. ,  Soos G. ,  Sréter J. ,  Steinhauser A. ,  Stern D. ,  Sveiczer M. ,  Szalai S. ,  Szegedy Adrienne ,  Székely Gy. ,  Székely Lilly ,  Szekeres Gy. ,  Szilágyi F. ,  Szmodics Z. ,  Szolovits D. ,  Takács L. ,  Turán Pál ,  Török I. ,  Ungár T. ,  Vági L. ,  Vészi L. ,  Wachsberger Márta ,  Walient P. ,  Weisz Lili ,  Wolf F. ,  Wolkóber L. ,  Ziegler I. 
Füzet: 1928/március, 209 - 210. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Paraméteres egyenletek, Gyökök és együtthatók közötti összefüggések, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1928/január: 340. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ha az (1) egyenlet gyökei x1 és x2, akkor

x1+x2=5,x1x2=-k.

Ha már most α=2x1 és β=2x2, akkor
α+β=2(x1+x2)=10ésαβ=4x1x2=-4k.
Eszerint α és β kielégítik az:
x2-10x-4k=0(3)
egyenletet. Követelményünket most már úgy fogalmazhatjuk meg, hogy k mely értékénél lesz a (2) és (3) egyenleteknek egy közös gyökük. Ha van közös gyökük, akkor ez kielégíti a
(x2-7x+2k)-(x2-10x-4k)=3x+6k=0
egyenletet; (2) és (3) közös gyöke csak x=-2k lehet.
Helyettesítsünk x helyébe -2k-t, akár (2)-be, akár (3)-ba,
4k2+16k=0
egyenlethez jutunk, ahonnan: k1=-4, k2=0.
Ha k=0, akkor (1)-nek és (2)-nek egyik gyöke 0. Ez triviális megoldás.
Ha k=-4, akkor
(1)-ből:x2-5x+4=0egyenletgyökei:4,1(2)-ből:x2-7x-8=0,,,,8,-1.
A (2) egyenlet egyik gyöke 8, az (1) egyik gyökének kétszerese.
 

Kiss Gyula (Balassa Bálint rg. VI. o. Balassagyarmat.)