Kezdőlap


Feladat:	288. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Camhi S. , Csalán E. , Erdős Pál , Glosios T. , Gregor A. , Győri János , Hajós György , Jacobi A. , Jójárt I. , Jónás P. , Juvancz I. , Klein Eszter , Klein M. , Klein T. , Molnár L. , Párducz N. , Petrovits G. , Rappaport D. , Rosenthal E. , Sveiczer M , Székely Gy. , Szolovits D. , Takács L. , Turán Pál , Ulmer R. , Virányi I. , Wachsberger Márta , Weisz Margit , Wolkóber L.
Füzet:	1927/november, 78 - 79. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1927/szeptember: 288. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

$φ (x)$ függvényt, egyszerűbb alakban kapjuk, ha a számlálót és nevezőt $a^{x}$ hatvánnyal szorozzuk; ekkor

\begin{matrix} φ (x) = \frac{a^{2 x} - 1}{a^{2 x} + 1} és így φ (y) = \frac{a^{2 y} - 1}{a^{2 y} + 1}; φ (x + y) = \frac{a^{2 (x + y)} - 1}{a^{2 (x + y)} + 1} \\ φ (x) + φ (y) = \frac{a^{2 x} - 1}{a^{2 x} + 1} + \frac{a^{2 y} - 1}{a^{2 y} + 1} = \\ = \frac{a^{2 x + 2 y} - a^{2 y} + a^{2 x} - 1 + a^{2 x + 2 y} - a^{2 x} + a^{2 y} - 1}{(a^{2 x} + 1) (a^{2 y} + 1)} = \frac{2 [a^{2 (x + y)} - 1]}{(a^{2 x} + 1) (a^{2 y} + 1)} . & (1) \\ 1 + φ (x) φ (y) = 1 + \frac{(a^{2 x} - 1) (a^{2 y} - 1)}{(a^{2 x} + 1) (a^{2 y} + 1)} = \\ = \frac{a^{2 x + 2 y} - a^{2 y} + a^{2 x} + 1 + a^{2 x + 2 y} - a^{2 y} - a^{2 x} + 1}{(a^{2 x} + 1) (a^{2 y} + 1)} = \frac{2 [a^{2 (x + y)} + 1]}{(a^{2 x} + 1) (a^{2 y} + 1)} . & (2) \end{matrix}

Tekintettel arra, hogy az (1) és (2) kifejezések nevezői egyenlők, csakugyan

\begin{matrix} \frac{φ (x) + φ (y)}{1 + φ (x) φ (y)} = \frac{a^{2 (x + y)} - 1}{a^{2 (x + y)} + 1} = φ (x + y) . \end{matrix}

Győri János (Fáy András rg. VII. o. Bp. IX.)