Feladat: 280. matematika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Beke Gy. ,  Camhi S. ,  Elek Tibor ,  Fischer Gy. ,  Hajós György ,  Klein Eszter ,  Klein M. ,  Molnár L. ,  Pollák A. ,  Rappaport D. ,  Ság M. ,  Turán Pál ,  Wachsberger Márta ,  Wolkóber L. 
Füzet: 1927/október, 52 - 53. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül körökben, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1927/május: 280. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A BC húr érinti az A középpontból a d sugárral rajzolt kört, tehát a 239. gyakorlat szerint (l. IV. évf. I. sz.) az ABAC szorzat állandó és

AB¯AC¯=2Rdill.AB2¯AC2¯=4R2d2.(1)
Jelezhetjük már itt, hogy d2R tartozik lenni!
Tekintettel a követelményre, AB2¯ és AC2¯ gyökei a következő másodfokú egyenletnek:
z2-l2z+4R2d2=0.(2)

Hogy feladatunknak megoldása legyen, szükséges és elegendő, hogy a (2) egyenlet gyökei valósak és pozitívek legyenek; továbbá, mivel AB és AC az 2R átmérőjű kör húrjai, a 2R-nél nagyobbak nem lehetnek, tehát a (2) egyenlet gyökei 4R2-nél nem lehetnek nagyobbak.
A (2) egyenlet gyökei, ha valósak, egyszersmind pozitívek, mert összegük és szorzatuk pozitív. Valósak, ha
l4-16R2d20azazl24Rd.(3)

Másrészt z4R2 tartozik lenni. Vizsgáljuk meg tehát
f(z)z2-l2z+4R2d2
előjelét a z=0 és z=4R2 helyeken!
f(0)=4R2d2>0;f(4R2)=4R2(4R2-l2+d2).

Minthogy a (2) egyenlet mindkét gyöke pozitív tartozik lenni és f(0)>0, kell, hogy f(4R2)0 legyen, azaz
l24R2+d2.(4)
Eszerint, egyesítve a két feltételt 1 [(3) és (4)]:
4Rdl24R2+d2,ésd2R.

Határesetek. Ha d=0, a (2) egyenlet egyik gyöke 0, a másik l2, azaz a B és C pontok egyike A-ba esik, pl. a B, a másik C a félkör tetszőleges pontja, tehát
l2=AC24R2.

Ha d=2R, akkor a megoldhatóság feltétele ez lesz:
8R2l28R2,
tehát l2=8R2; ezen esetben a (2) egyenlet gyökei egyenlők:
AB2=AC2¯=4R2,AB=AC=2R,
azaz: B is C pontok az A'-be esnek.
 

Wachsberger Márta (izr. leánygimn. VII. o. Bp.)

14Rd4R2+d2, mert (2R-d)20.