Kezdőlap


Feladat:	278. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Beke B. , Blahó T. , Böszörményi Gy. , Camhi S. , Elek Tibor , Erdős Pál , Erdős Péter , Fenyves F. , Fischer Gy. , Hajós György , Klein Eszter , Klein M. , Klein T. , Molnár L. , Pollák A. , Rappaport D. , Ság M. , Sveiczer M. , Turán Pál , Wachsberger Márta , Wolkóber L.
Füzet:	1927/október, 51. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Harmadfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Gyökök és együtthatók közötti összefüggések, Számtani sorozat, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1927/május: 278. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az $a x^{3} + b x^{2} + c x + d = 0$ egyenlet gyökeinek összege:

\begin{matrix} α + β + γ = - \frac{b}{a} . \end{matrix}

α

β

γ

számtani haladványt alkotnak, melynek különbsége

d

, úgy hogy

\begin{matrix} α = β - d és γ = β + d, akkor α + β + γ = 3 β = - \frac{b}{a}; \end{matrix}

azaz

\begin{matrix} β = - \frac{b}{3 a} \end{matrix}

az adott egyenletnek gyöke kell hogy legyen. Más szóval

- \frac{b}{3 a}

kielégíti az adott egyenletet:

\begin{matrix} a {(- \frac{b}{3 a})}^{3} + b {(- \frac{b}{3 a})}^{2} + c (- \frac{b}{3 a}) + d = \frac{- a b^{3}}{27 a^{3}} + \frac{b^{3}}{9 a^{2}} - \frac{b c}{3 a} + d = 0. \end{matrix}

Rendezve:

\begin{matrix} 2 b^{3} - 9 a b c + 27 a^{2} d = 0. \end{matrix}

(1)

Az (1) egyenlet kifejezi tehát annak szükséges feltételét, hogy az adott egyenlet gyökei számtani haladványt alkossanak. Azonban ezen feltétel egyszersmind elegendő, mert ha az (1) fennáll, akkor

- \frac{b}{3 a}

gyöke az adott egyenletnek, azaz

\begin{matrix} α - \frac{b}{3 a} + γ = - \frac{b}{a}; α + γ = - \frac{2 b}{3 a} = 2 β; \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} γ - β = β - α . \end{matrix}

Elek Tibor (Kemény Zsigmond főreál VIII. o. Bp.)