Kezdőlap


Feladat:	268. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Beke Gyula , Böszörményi Gy. , Csalán E. , Elek T. , Fischer Gy. , Hajós György , Katona E. , Klein Eszter , Molnár L. , Pollák A. , Rochlitz K. , Ság Miklós , Schlüssler E. , Turán Pál , Wachsberger Márta , Weisz S. , Wolkóber L.
Füzet:	1927/szeptember, 17 - 18. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szélsőérték differenciálszámítással, Függvényvizsgálat, Derékszögű háromszögek geometriája, Súlyvonal, Magasságvonal, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül háromszögekben, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1927/április: 268. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az átfogóhoz tartozó magasság $m = \frac{a b}{c}$ , ahol $a$ és $b$ a háromszög befogói; tehát

\begin{matrix} m^{2} = \frac{a^{2} b^{2}}{c^{2}} = \frac{a^{2} (c^{2} - a^{2})}{c^{2}} . \end{matrix}

(1)

Jelentse

s

a

befogóhoz tartozó súlyvonalat; ismert összefüggés szerint

\begin{matrix} s^{2} = \frac{b^{2} + c^{2}}{2} - \frac{a^{2}}{4} = \frac{2 c^{2} - a^{2}}{2} - \frac{a^{2}}{4} = \frac{4 c^{2} - 3 a^{2}}{4}, & (2) \\ m^{2} + s^{2} = \frac{a^{2} (c^{2} - a^{2})}{c^{2}} + \frac{4 c^{2} - 3 a^{2}}{4} = \frac{- 4 a^{2} + c^{2} a^{2} + 4 c^{2}}{4 c^{2}} . & (3) \end{matrix}

Legyen már most

a^{2} = x

; minthogy a 3) alatti kifejezés nevezője állandó, vizsgálnunk kell az

\begin{matrix} y = - 4 x^{2} + c^{2} x + 4 c^{4} \end{matrix}

(4)

függvény változását oly

x

értékek mellett, amelyekre nézve:

0 \leq x \leq c^{2}

.
Ha

x = 0, y = 4 c^{4}

és

m^{2} + s^{2} = c^{2}

. Ekkor ugyanis

m = 0

, de

s = c

.
Ha

x

növekedik, akkor

y

és így

m^{2} + s^{2}

is növekedik, amíg

\begin{matrix} y' = - 8 x + c^{2} > 0 azaz x < \frac{c^{2}}{8} \end{matrix}

x = \frac{c^{2}}{8}

helyen

y

-nak maximuma van. Ezen maximum értéke

\begin{matrix} y_{max} = \frac{65 c^{4}}{16} és ekkor (3) szerint m^{2} + s^{2} = \frac{65 c^{2}}{64} . \end{matrix}

x = \frac{c^{2}}{8}

helytől kezdve

y

, tehát

m^{2} + s^{2}

értéke is fogy. Ha

x = c^{2}

, akkor

m = 0

és

s^{2} = \frac{c^{2}}{4}

azaz

s = \frac{c}{2}

, tehát

m^{2} + s^{2} = \frac{c^{2}}{4}

. Eszerint

m^{2} + s^{2}

legkisebb értéke:

\frac{c^{2}}{4}

akkor áll elő, ha

a = c

. A változás áttekintését a köv. táblázat nyújtja

\begin{matrix} \begin{matrix} x = a^{2} & 0 & \frac{c^{2}}{8} & c^{2} \\ m^{2} + s^{2} & c^{2} & ↗ & \frac{65 c^{2}}{64} & ↘ & \frac{c^{2}}{4} \\ max. & min. \end{matrix} \end{matrix}

Hajós György (kegyesrendi fg. VI. o. Bp.)

Jegyzet. Hogy az

x = 0

esetet geometriailag is lássuk, képzeljük, hogy a derékszögű háromszög csúcsa

C

A B

átfogó fölé írt félkörön a

B

ponthoz közeledik; ekkor

s

közeledik

c

-hez. (

{lim}_{}^{} s = c

, ha

a = 0

; l. a (2) egyenletet).
Az

x = c^{2}

, azaz

a = c

esetben a derékszög csúcsa

C

A

ponthoz közeledik és ekkor

s

közeledik

\frac{c}{2}

-hez, a kör sugarához. (L. (2) egyenletet.) Ezen határesetben

m^{2} + s^{2}

az összes tekintetbe jöhető értékek között a legkisebb, azaz absolut minimum.

Szerk.