Kezdőlap


Feladat:	266. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Beke Gy. , Berger Magda , Blahó T. , Böszörményi Gy. , Camhi S. , Csalán E. , Elek T. , Fischer Gy. , Hajós György , Jacobi A. , Katona E. , Klein Eszter , Klein T. , Kozma A. , Krón A. , Mendik A. , Molnár L. , Polacsek E. , Rappaport D. , Rochlitz K. , Ság M. , Scheiber Pál , Schlüssler E. , Sréter Jenő , Takács L. , Turán Pál , Wachsberger Márta , Waldapfel L. , Weisz S. , Wolkóber L
Füzet:	1927/szeptember, 16. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Paraméteres egyenletrendszerek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1927/április: 266. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Osszuk el a (2) egyenlet két oldalát az (1) megfelelő oldalaival:

\begin{matrix} \frac{x^{2} - x y + y^{2}}{x y} = \frac{a^{3} + b^{3}}{a b (a + b)} = \frac{a^{2} + a b + b^{2}}{a b} . \end{matrix}

Rendezve:

\begin{matrix} a b x^{2} - (a^{2} + b^{2}) x y + a b y^{2} = 0. \end{matrix}

(4)

A (4) egyenlet baloldala racionális tényezőkre bontható, mert discriminánsa teljes négyzet:

{(a^{2} + b^{2})}^{2} - 4 a^{2} b^{2} = {(a^{2} - b^{2})}^{2}

. Ezen tényezőket megkapjuk, ha (4)-et

\frac{x}{y}

-ra megoldjuk:
Az egyik megoldás:

\frac{x}{y} = \frac{a}{b}

, a másik:

\frac{x}{y} = \frac{b}{a}

,
tehát

\begin{matrix} \frac{x}{a} - \frac{y}{b} = 0 és \frac{x}{b} - \frac{y}{a} = 0, \end{matrix}

azaz

\begin{matrix} (\frac{x}{a} - \frac{y}{b}) (\frac{x}{b} - \frac{y}{a}) = 0. \end{matrix}

Scheiber Pál (Berzsenyi Dániel fg. VII. o. Bp.)