Kezdőlap


Feladat:	265. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Beke Gyula , Fischer Gy. , Hajós György , Molnár László
Füzet:	1927/szeptember, 15 - 16. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek hasonlósága, Háromszögek nevezetes tételei, Természetes számok, Pitagoraszi számhármasok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1927/április: 265. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ha a derékszögű háromszög befogói, $a$ és $b$ , továbbá az átfogóhoz tartozó $m$ magasság egész számok, az átfogó: $c = \frac{a b}{m}$ mindenesetre racionális szám. Ezen háromszög azonban hasonló egy olyan háromszöggel, melynek oldalaihoz egész mérőszámok tartoznak. Az ilyen háromszög oldalait kifejezhetjük az

\begin{matrix} a = x^{2} - y^{2}, b = 2 x y, c = x^{2} + y^{2} \end{matrix}

(1)

alakban, ahol

x

és

y

relatív prímszámok és egyikük páros. ¹ Az ilyen háromszögben a magasság

\begin{matrix} m = \frac{a b}{c} = \frac{(x^{2} - y^{2}) 2 x y}{x^{2} + y^{2}}, \end{matrix}

(2)

és így ennek mérőszáma általában tört szám, mivel

x^{2} + y^{2}

és a számláló bármelyik tényezője

(x^{2} - y^{2}, 2, x, y)

relatív prímek. Ha azonban a háromszög oldalait

x^{2} + y^{2}

-el szorozzuk, az így nyert hasonló háromszögben

m

egész szám lesz. Az új háromszög oldalai:

\begin{matrix} a_{1} = x^{4} - y^{4}, b_{1} = 2 x y (x^{2} + y^{2}), c_{1} = {(x^{2} + y^{2})}^{2} . \end{matrix}

(3)

a_{1}

b_{1}

c_{1}

pythagorasi számok, mert

\begin{matrix} a_{1}^{2} + b_{1}^{2} = {(x^{4} - y^{4})}^{2} + 4 x^{2} y^{2} {(x^{2} + y^{2})}^{2} = {(x^{2} + y^{2})}^{2} [{(x^{2} - y^{2})}^{2} + 4 x^{2} y^{2}] = {(x^{2} + y^{2})}^{4} = c_{1}^{2} . \end{matrix}

Másrészt a (3) egyenletek által meghatározott derékszögű háromszögben az

m_{1}

magasság is egész szám:

\begin{matrix} m_{1} = \frac{a_{1} b_{1}}{c_{1}} = \frac{(x^{4} - y^{4}) 2 x y (x^{2} + y^{2})}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} = (x^{2} - y^{2}) 2 x y . \end{matrix}

Pl. ha

x = 2

y = 1

, akkor

a = 3

b = 4

c = 5

és

m = \frac{12}{5}

.
Azonban:

\begin{matrix} a_{1} = 15, b_{1} = 20, c_{1} = 25 és m = 12. \end{matrix}

x = 3

és

y = 2

, akkor

a = 5

b = 12

c = 13

és

m = \frac{60}{13}

.
Azonban:

\begin{matrix} a_{1} = 65, b_{1} = 156, c_{1} = 169 és m_{1} = 60. \end{matrix}

Molnár László (Kölcsey Ferenc rg. VII. o. Bp.)

¹Általában

x

és

y

lehetnek bárminő egész számok. A megszorítást azért tesszük, hogy

a

b

c

s relatív prímszámok legyenek.