Kezdőlap


Feladat:	252. matematika feladat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Beke B. , Beke Gy. , Bohdaneczky Erzsébet , Bolgár J. , Böszörményi Gy. , Cambi S. , Elek T. , Emhő L. , Erdős Péter , Fischer Gy. , Fürst L. , Geiringer F. , Gelberger P. , Gregor A. , Griffel Gy. , Hajós Gy. , Jacobi A. , Jáver S. , Keil M. , Klein Eszter , Klein T. , Kőrösy J. , Lukács E. , Molnár László , Mosonyi L. , Németh B. , Neufeld B. , Pécsi Gizella , Polacsek E. , Pollák A. , Rácz E. , Rappaport D. , Reisz I. , Rochlitz K. , Ság M. , Scheiber P. , Schönwald I. , Somló T. , Sréter J. , Sveiczer M. , Szakály J. , Szántó L. , Szegedy Adrienne , Szívós M. , Szolovits D. , Tóth A. , Turán P. , Ulmer R. , Vasváry L. , Wachsberger Márta , Weisz F. , Weisz S. , Wolkóber L.
Füzet:	1927/május, 282 - 283. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Nevezetes azonosságok, Prímtényezős felbontás, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1927/március: 252. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A tétel igaz $x = 1$ és $y = 1$ eset kivételével. Ugyanis

\begin{matrix} x^{4} + 4 y^{4} = {(x^{2} + 2 y^{2})}^{2} - 4 x^{2} y^{2} = (x^{2} + 2 x y + 2 y^{2}) (x^{2} - 2 x y + 2 y^{2}) \end{matrix}

azaz

x^{4} + 4 y^{4}

tényezőkre bontható; ezen tényezők mindegyike általában nagyobb, mint az egység.

\begin{matrix} x^{2} + 2 x y + 2 y^{2} = {(x + y)}^{2} + y^{2} > 1, \\ x^{2} - 2 x y + 2 y^{2} = {(x - y)}^{2} + y^{2} \geq 1. \end{matrix}

Utóbbi esetben az egyenlőség csak

x = 1

y = 1

esetben állhat elő. Ekkor

x^{4} + 4 y^{4} = 5

Molnár László (Kölcsey Ferenc rg. VII. o. Bp.)

Jegyzet. A Fermat-tétel szerint

\begin{matrix} x^{4} = 5 k + 1 és y^{4} = 5 l + 1 \end{matrix}

csak akkor igaz, ha sem

x

, sem

y

nem osztható

5

-tel. Ha az

x

y

számok egyike osztható 5-tel, a Fermat-tétel alapján nem tudunk bizonyítani.