Kezdőlap


Feladat:	234. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Beke B. , Böszörményi Gy. , Elek Tibor , Fischer Gy. , Fürst L. , Gregor A. , Hajós Gy. , Klein Eszter , Lukács Ernő , Neufeld B. , Turán P.
Füzet:	1927/március, 218 - 219. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Beírt kör, Hozzáírt körök, Háromszögek szerkesztése, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1927/január: 234. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. Megoldás. A háromszög oldalait érintő körök sugarait a következő formulák fejezik ki;

\begin{matrix} ϱ = \frac{t}{s}; ϱ_{a} = \frac{t}{s - a}; ϱ_{b} = \frac{t}{s - b}; ϱ_{c} = \frac{t}{s - c} . \end{matrix}

Egy tetszőleges

d

távolság segítségével szerkesszük meg a

R

R_{a}

R_{b}

R_{c}

távolságokat, úgy, hogy

\begin{matrix} R = \frac{d^{2}}{ϱ}; R_{a} = \frac{d^{2}}{ϱ_{a}}; R_{b} = \frac{d^{2}}{ϱ_{b}}; R_{c} = \frac{d^{2}}{ϱ_{c}} . \end{matrix}

Ekkor:

\begin{matrix} R : R_{a} : R_{b} : R_{c} = s : (s - a) : (s - b) : (s - c) . \end{matrix}

Innen

\begin{matrix} (R_{a} + R_{b}) : (R_{b} + R_{c}) : (R_{c} + R_{a}) = c : b : a, \end{matrix}

(1)

vagy

\begin{matrix} (R - R_{a}) : (R - R_{b}) : (R_{a} + R_{b}) = a : b : c . \end{matrix}

(2)

Ha tehát

ϱ_{a}

ϱ_{b}

ϱ_{c}

van adva, (1) alapján szerkeszthetünk a keresetthez hasonló háromszöget; ezáltal a szögeket is megkapjuk és így valamelyik

ϱ

segítségével a keresett háromszög meghatározható.
Ha

ϱ

ϱ_{a}

ϱ_{b}

van adva, akkor a (2) alapján járunk el hasonlóan!

Lukács Ernő (kegyesrendi fg. VIII. o. Bp.)

II. Megoldás. Akármelyik

3

érintőkör sugara van adva, a negyedik megszerkeszthető az

\begin{matrix} \frac{1}{ϱ} = \frac{1}{ϱ_{a}} + \frac{1}{ϱ_{b}} + \frac{1}{ϱ_{c}} \end{matrix}

reláció alapján. (A szerkesztés a harmonikus középarányos meghatározása alapján történik, fokozatosan, a 72. és 73. gyakorlat¹ értelmében). Ha már most a

4

sugár ismeretes, akkor a háromszög oldalai az

\begin{matrix} a^{2} = (ϱ_{b} + ϱ_{c}) (ϱ_{a} - ϱ); b^{2} = (ϱ_{c} + ϱ_{a}) (ϱ_{b} - ϱ); c^{2} = (ϱ_{a} + ϱ_{b}) (ϱ_{c} - ϱ) \end{matrix}

egyenletek² alapján szerkeszthetők.

Elek Tibor (Kemény Zsigmond főreál. VIII. o. Bp.)

Jegyzet. A beküldött megoldások formailag úgyszólván mind különbözők; lényegileg abban egyeznek meg, hogy a keresett háromszöghöz hasonló háromszöget szerkesztenek ismert relációk alapján, vagy pedig szerkeszthető kifejezéseket számítanak ki.

¹II. évf. 4. sz.

²Rátz L.: ,,Középisk. Math. Lapok" XVIII. évf. 10. sz.