Kezdőlap


Feladat:	230. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Beke B. , Beke Gy. , Böszörményi Gy. , Cambi S. , Diamant B. , Emhő L. , Fischer Gy. , Fürst L. , Geiringer F. , Hajós Gy. , Hallóssy Z. , Hieronymi P. , Hoffmann I. , Jacobi A. , Klein Eszter , Klein T. , Lukács E. , Mérei I. , Molnár László , Rácz E. , Rappaport D. , Rochlitz K. , Ság M. , Sréter J. , Sveiczer M. , Szolovits D. , Turán P. , Wachsberger Márta , Weisz S.
Füzet:	1927/március, 214 - 215. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Elsőfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Geometriai egyenlőtlenségek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1927/január: 230. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Kizárva $x = y = z = 0$ értékeket, legyen

\begin{matrix} x = λ z és y = μ z . \end{matrix}

Helyettesítve ezeket, az

\begin{matrix} a λ + b μ + c = & 0, & (1) \\ a μ + b λ + c λ μ = & 0 & (2) \end{matrix}

egyenletrendszert kell megoldanunk.
(1)-ből

λ = - \frac{1}{a} (b μ + c)

. Helyettesítve ezt (2) be:

\begin{matrix} b c μ^{2} + (b^{2} + c^{2} - a^{2}) μ + b c = 0 \end{matrix}

(3)

egyenlethez jutunk. Ezen egyenlet diszkriminánsa:

\begin{matrix} D \equiv {(b^{2} + c^{2} - a^{2})}^{2} - 4 b^{2} c^{2} = (b^{2} + 2 b c + c^{2} - a^{2}) (b^{2} - 2 b c + c^{2} - a^{2}) = \end{matrix}

\begin{matrix} = (b + c + a) (b + c - a) (b - c + a) (b - c - a) . \end{matrix}

Az első három tényező mindegyike pozitív, de a negyedik

\begin{matrix} b - c - a < 0 \end{matrix}

és így

D < 0

. Ezért a (3) egyenletnek, és így a megadott egyenletrendszernek sem lehetnek a zérustól különböző valós megoldásai.

Molnár László (Kölcsey Ferenc rg. VII. o. Bp.)