|
Feladat: |
219. matematika feladat |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: átlagos |
Megoldó(k): |
Beke Gy. , Böszörményi Gy. , Elek T. , Fischer Gy. , Fürst L. , Geiringer F. , Hajós Gy. , Hallóssy Zoltán , Katona E. , Klein Eszter , Lukács E. , Mérei I. , Rochlitz K. , Ság M. , Szántó L. , Turán Pál , Wachsberger Márta , Weisz S. |
Füzet: |
1927/február,
181 - 183. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Szélsőérték differenciálszámítással, Függvényvizsgálat, Terület, felszín, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül háromszögekben, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1926/december: 219. matematika feladat |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. Megoldás. Az csúcsból a oldalra bocsátott merőleges legyen az -tengely és ennek poz. iránya a felé essék. A csúcs távolsága -től legyen . Ha a pont a -n innen van, akkor, mivel , | | Innen | | (1) |
Ha azonban | | és így | | (2) |
A területnek (1) alatti értéke érvényes akkor is, ha negatív, azaz -t az elválasztja a -től. Az (1) alatti értékből kiolvashatjuk, hogy ha változik -től 0-ig, értéke -től fogy 0-ig, mert a számláló folyton csökken, a nevező pedig növekedik. Ha pedig most már 0-tól változik -ig, értéke növekedik 0-tól -ig; ekkor ugyanis a számláló növekedik az véges értékig, a nevező pedig csökken 0-ig. Tehát, ha a pont -ban van értéke minimum. Ha már most , a (2) érték azt mutatja, hogy értéke esetében és esetében szintén . Minthogy értékét jelző függvény helytől -ig folytonos, közben kell lennie legalább egy minimumnak. Vizsgáljuk meg tehát -nek szerinti első és második differenciálhányadosát.
nem esik a most vizsgált tartományba. Csak felelhet meg. | |
Helyettesítsünk helyébe -t; akkor tehát helyen -nek minimuma van.
Hallóssy Zoltán (ciszterci rg. VIII. o. Bp.) | II. Megoldás. A vizsgált terület szélső értékének meghatározására a egyenletet hozzuk a következő alakra: Ezen egyenletnek valós gyökei csak akkor vannak, ha azaz, esetet kizárva, . Ebből látjuk, hogy a területnek minimuma: , az területének négyszerese. Ha ezen értéket az (1)-be helyettesítjük: | |
Turán Pál (Madách Imre fg. VII. o. Bp.) |
|
|