Feladat: 219. matematika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Beke Gy. ,  Böszörményi Gy. ,  Elek T. ,  Fischer Gy. ,  Fürst L. ,  Geiringer F. ,  Hajós Gy. ,  Hallóssy Zoltán ,  Katona E. ,  Klein Eszter ,  Lukács E. ,  Mérei I. ,  Rochlitz K. ,  Ság M. ,  Szántó L. ,  Turán Pál ,  Wachsberger Márta ,  Weisz S. 
Füzet: 1927/február, 181 - 183. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Szélsőérték differenciálszámítással, Függvényvizsgálat, Terület, felszín, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül háromszögekben, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1926/december: 219. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. Megoldás. Az A csúcsból a BC oldalra bocsátott merőleges legyen az x-tengely és ennek poz. iránya a BC felé essék. A csúcs távolsága BC-től legyen m. Ha a P pont a BC-n innen van, akkor, mivel PDCPAR,

AP:PD=AR:DCazazx:(m-x)=y:a2.
Innen
y=ax2(m-x)és aPQRterületet=xy=ax22(m-x).(1)

 
 

Ha azonban
AP'=x>m,akkorx:(x-m)=y:a2
és így
y=ax2(x-m);aP'Q'Rterületet=xy=ax22(x-m).(2)

A területnek (1) alatti értéke érvényes akkor is, ha x negatív, azaz P-t az A elválasztja a BC-től. Az (1) alatti értékből kiolvashatjuk, hogy ha x változik --től 0-ig, t értéke +-től fogy 0-ig, mert a számláló folyton csökken, a nevező pedig növekedik. Ha pedig x most már 0-tól változik m-ig, t értéke növekedik 0-tól +-ig; ekkor ugyanis a számláló növekedik az am2 véges értékig, a nevező pedig csökken 0-ig. Tehát, ha a P pont A-ban van t értéke minimum.
Ha már most x>m, a (2) érték azt mutatja, hogy t értéke x=m esetében + és x=+ esetében szintén +. Minthogy t értékét jelző függvény x=m helytől x=+-ig folytonos, közben kell lennie legalább egy minimumnak. Vizsgáljuk meg tehát t-nek x szerinti első és második differenciálhányadosát.
t'=a22x(x-m)-x2(x-m)2=a2x2-2mx(x-m)2.t'=0hax2-2mx=0,tehát hax1=0ésx2=2m.
x1=0 nem esik a most vizsgált tartományba. Csak x2=2m felelhet meg.
t''=a2(2x-2m)(x-m)2-(x2-2mx)2(x-m)(x-m)4=a22(x-m)3-2x(x-m)(x-2m)(x-m)4

Helyettesítsünk x helyébe 2m-t; akkor
t''=a22m3m4=am>0
tehát x=2m helyen t-nek minimuma van.
 

Hallóssy Zoltán (ciszterci rg. VIII. o. Bp.)
 

II. Megoldás. A vizsgált terület szélső értékének meghatározására a t=ax22(x-m) egyenletet hozzuk a következő alakra:
ax2-2tx+2tm=0.(1)
Ezen egyenletnek valós gyökei csak akkor vannak, ha
4t2-8tma=4t(t-2ma)0,
azaz, t=0 esetet kizárva, t2am.
Ebből látjuk, hogy a területnek minimuma: 2am, az ABC területének négyszerese. Ha ezen értéket az (1)-be helyettesítjük:
a(x2-4mx+4m2)=a(x-2m)2=0azazx=2m.

Turán Pál (Madách Imre fg. VII. o. Bp.)