Kezdőlap


Feladat:	218. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Beke Béla , Beke Gy. , Bleier P. , Böszörményi Gy. , Elek T. , Emhő L. , Fischer Gy. , Geiringer F. , Hajós Gy. , Hallóssy Z. , Katona E. , Klein Eszter , Kornhauser J. , Kozma A. , Lukács E. , Marosi I. , Mérei I. , Modrovits Emil , Rappaport D. , Ság M. , Saile P. , Szántó L. , Szentkirályi E. , Turán P. , Wachsberger Márta
Füzet:	1927/február, 181. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Elsőfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Paraméteres egyenletrendszerek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1926/december: 218. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. Megoldás. Ha az (1) és (3) egyenlet, továbbá a (2) és (3) egyenlet oldalait felcserélve összeadjuk:

\begin{matrix} (1 + a) x = (1 + b) y = (1 + c) z . \end{matrix}

(4)

Ha ezen értékek mindegyikét

λ

-val jelöljük :

\begin{matrix} x = \frac{λ}{1 + a}; \end{matrix}

(5)

Ezen értékek kielégítik az (1) egyenletet, ha

\begin{matrix} λ (\frac{1}{1 + a} - \frac{b}{1 + b} - \frac{c}{1 + c}) = 0. \end{matrix}

A követelmény az, hogy az ismeretlenek egyike se legyen zérus, tehát

λ \neq 0

és így

\begin{matrix} \frac{1}{1 + a} - \frac{b}{1 + b} - \frac{c}{1 + c} = 0, \\ \frac{1}{1 + a} = \frac{b}{1 + b} + \frac{c}{1 + c} vagy \frac{1}{1 + a} + \frac{a}{1 + a} = \frac{a}{1 + a} + \frac{b}{1 + b} + \frac{c}{1 + c} \end{matrix}

és végül

\begin{matrix} 1 = \frac{a}{1 + a} + \frac{b}{1 + b} + \frac{c}{1 + c} . \end{matrix}

Ugyanilyen eredményre jutunk, ha az (5) értékeket a (2)-be vagy (3)-ba helyettesítjük!

Modrovits Emil (Kölcsey Ferenc rg. VIII. o. Bp.)

II. Megoldás. Az adott egyenleteket hozzuk a normális alakra.

\begin{matrix} x - b y - c z & = 0, \\ - a x + y - c z & = 0, \\ - a x - b y + z & = 0. \end{matrix}

Ezen egyenletrendszernek akkor és csak akkor van zérustól különböző megoldása, ha a determinánsa zérus.

\begin{matrix} D = | \begin{matrix} 1 & - b \end{matrix} \end{matrix}

\begin{matrix} = (1 + b) (1 + c) - (1 + a) [b (1 + c) + c (1 + b)] \\ D = 0, ha (1 + b) (1 + c) = b (1 + a) (1 + c) + c (1 + a) (1 + b) . \end{matrix}

Minden tagot

(1 + a) (1 + b) (1 + c)

-vel osztva:

\begin{matrix} \frac{1}{1 + a} = \frac{b}{1 + b} + \frac{c}{1 + c} . \end{matrix}

Beke Béla (Toldy Ferenc főreál VIII. o. Bp.)

¹az első oszlop tagjaival kifejtve.