Kezdőlap


Feladat:	215. matematika feladat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Ádám F. , Baligovics G. , Beke B. , Beke Gy. , Bleier P. , Böszörményi Gy. , Csalán Ernő , Elek T. , Emhő L. , Fischer Gy. , Fürst L. , Geiringer Ferenc , Hallóssy Z. , Horváth K. , Katona E. , Klein Eszter , Klein T. , Kozma A. , Krón A. , Lukács E. , Mérei I. , Rochlitz K. , Ság M. , Saile P. , Sréter J. , Sveiczer M. , Szántó L. , Szentkirályi E. , Szolovits D. , Tenner Anna , Turán P. , Vojtsek I. , Wachsberger Márta , Walient P. , Weisz S.
Füzet:	1927/február, 178. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Nevezetes azonosságok, Euler-Fermat-tételek, Tizes alapú számrendszer, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1926/december: 215. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. Megoldás. A tétel nem szorul bizonyításra, ha az $a$ szám utolsó jegye 5 vagy 0, mert ebben az esetben az $a$ szám minden hatványának utolsó jegye 5, ill. 0.
Legyen már most az $a$ szám az 5-höz relatív prímszám. Fermat-tétele szerint ekkor

\begin{matrix} a^{4} - 1 és így a^{4 n} - 1 is \end{matrix}

osztható 5-tel, azaz

\begin{matrix} a^{4 n} = 5 M + 1, & (1) \\ és & a^{4 n + 1} = 5 a M + a . & (2) \end{matrix}

a

páratlan szám, akkor az (1) szerint

M

páros, tehát

5 a M

osztható 10-ze1 és így

a^{4 n + 1}

utolsó jegye a (2) szerint

a

utolsó jegyével egyezik meg.
Ha

a

páros, akkor

5 a M

megint osztható 10-zel.

Geiringer Ferenc (Madách Imre fg. VIII. o. Bp.)

II. Megoldás. Ki kell mutatnunk, hogy

\begin{matrix} a^{4 n + 1} - a = a (a^{4 n} - 1) = a (a^{2 n} + 1) (a^{2 n} - 1) \end{matrix}

(1)

osztható 10-zel, azaz 2-vel és 5-tel.
Ha

a

páros szám, az (1) szorzat osztható 2-vel. Ha

a

páratlan, akkor

a^{2 n} \pm 1

páros számok.
Ha

a

osztható 5-tel, az (1) szorzat is osztható 5-tel. Ha

a

nem osztható 5-tel akkor vagy

a^{2 n} + 1

vagy

a^{2 n} - 1

osztható 5-tel, mert

a^{2 n}

négyzetszám és az 5-tel nem osztható számok négyzetének utolsó jegye csak 9, 1, 4, 6 lehet.

Csalán Ernő (Berzsenyi Dániel fg. VII. o. Bp.)