Feladat: 206. matematika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Beke B. ,  Beke Gy. ,  Blahó T. ,  Bleier P. ,  Böszörményi Gy. ,  Cambi S. ,  Csalán E. ,  Elek T. ,  Erdélyi L. ,  Erdős Pál ,  Fischer Rózsi ,  Fürst L. ,  Gregor A. ,  Hajós Gy. ,  Hallóssy Z. ,  Jacobi A. ,  Jójárt I. ,  Katona E. ,  Kende Magda ,  Klein Eszter ,  Klein Tibor ,  Kovács J. ,  Kozma A. ,  Lukács E. ,  Löbl E. ,  Modrovits E. ,  Németh B. ,  Némethy L. ,  Neufeld B. ,  Rappaport D. ,  Rochlitz K. ,  Rosenthal E. ,  Ság M. ,  Saile P. ,  Schlüssler E. ,  Sréter J. ,  Steiner S. ,  Szántó L. ,  Szentkirályi E. ,  Szentpétery Z. ,  Tóvárosi Fischer György ,  Turán P. ,  Ulmer R. ,  Wachsberger Márta ,  Weisz S. 
Füzet: 1927/január, 151 - 152. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Harmadfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1926/november: 206. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. Megoldás. A 63. gyakorlat szerint (L. II. évf. 104. o.)

(x+y+z)3=x3+y3+z3+3(y+z)(z+x)(x+y).

Minthogy x+y+z=1 és x3+y3+z3=1, ezért
(y+x)(z+x)(x+y)=0.

A baloldalon álló tényezők bármelyike zérus. Legyen pl.
x+y=0;ekkorx=1x2+y2+z2=x2+(y+z)2-2zy=1-2zy=1

tehát
yz=0és ígyy=0,z=0.

Ha   z+x=0,   akkor   y=1,   z=0,   x=0.
Ha   x+y=0,   akkor   z=1,   x=0,   y=0.
 

Tóvárosi Fischer György (ág. ev. fg. VIII. o. Bp.)
 

II. Megoldás. Kiindulunk abból az azonosságból, amely szerint
(x+y+z)3=3(x+y+z)(x2+y2+z2)-2(x3+y3+z3)+6xyz.

Az egyenletrendszerben megadott értékekkel
1=3-2+6xyztehátxyz=0.

Ebből következik, hogy az egyik ismeretlen, pl. z=0. Evvel
x+y=1ésx2+y2=1
és mivel
x2+y2=(x+y)2-2xy,tehát1=1-2xy
azaz
xy=0.

Eszerint a két ismeretlen egyike, pl. y=0 és így x=1.
A szimmetriából következik, hogy az x, y, z értékek felcserélhetők (permutálhatók) és így 3 megoldás van:
x=1,y=0,z=0,(1)x=0,y=1,z=0,(2)x=0,y=0,z=1.(3)
 

III. Megoldás. Az előbbi megoldásból láttuk, hogy
xyz=0.

Azonban x2+y2+z2=(x+y+z)2-2(xy+yz+zx).
Tekintettel a megadott értékekre: xy+yz+zx=0.
x, y, z gyökei a következő harmadfokú egyenletnek:
t3-t2(x+y+z)+t(xy+yz+zx)-xyz=0.
azaz:
t3-t2=t2(t-1)=0.

Ezen egyenletnek két gyöke 0 és egyik gyöke 1. Eszerint az x, y, z közül bármelyik kettő 0 és a harmadik 1.
 

Klein Tibor (izr. rg. VI. o. Bp.)