Feladat: 205. matematika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Beke B. ,  Beke Gy. ,  Bleier P. ,  Böszörményi Gy. ,  Csalán E. ,  Elek T. ,  Erdélyi L. ,  Fischer Gy. ,  Fürst L. ,  Hajós Gy. ,  Jójárt I. ,  Katona E. ,  Kozma A. ,  Lukács E. ,  Löbl E. ,  Némethy L. ,  Rochlitz Károly ,  Ság M. ,  Saile P. ,  Steiner S. ,  Szántó L. ,  Szentkirályi E. ,  Turán P. ,  Ulmer L. ,  Wachsberger Márta ,  Weisz S. 
Füzet: 1927/január, 150 - 151. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Irracionális számok és tulajdonságaik, Oszthatósági feladatok, Számtani sorozat, Mértani sorozat, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1926/november: 205. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

1∘. Tegyük fel, hogy 2, 5, 7 egy számtani haladvány k-dik, l-dik, ill. n-dik tagja; a haladvány első tagja a, különbsége d. Tehát

2=a+(k-1)d;5=a+(l-1)d;7=a+(n-1)d.5-2=(l-k)dés7-2=(n-k)d.7-25-2=n-kl-k.


Ezen egyenlet jobboldalán egy racionális szám áll ‐ k, l, n egész számok ‐, a baloldalon pedig egy irracionális szám; ilyen számok között azonban egyenlőség nem állhat fenn. * Tehát 2, 5, 7 nem lehetnek ugyanazon számtani haladvány tagja.
2∘. Tegyük fel, hogy 2, 5, 7 egy mértani haladvány tagjai, tehát létezik egy q szám, továbbá k és l egész számok 2 úgy, hogy
5=2⋅qk(1)és7=2⋅ql.(2)


(1)-ből
q=(52)12k
(2)-ből
q=(72)12l
tehát
(52)12k=(52)72lazaz5l=7k⋅2l-k.(3)

Azonban a (3) egyenlet nem állhat meg, mert 5-nek egész kitevőjű hatványa nem osztható sem 7-tel, sem 2-vel és a jobb oldal sem osztható 5-tel!
 

Rochlitz Károly (áll. Szent István rg. VIII. o. Bp. VII.)
*Hogy világosabban lássuk, a baloldalon 5+2-vel szorozzuk a számlálót és nevezőt. Azután négyzetre emelésekkel elérhetjük, hogy a baloldalon egy irracionális négyzetgyök, a jobboldalon egy racionális szám áll.

2l=k