Kezdőlap


Feladat:	194. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Beke B. , Beke Gy. , Elek T. , Fischer Gy. , Hajós Gy. , Katona Endre , Lukács E. , Róth I. , Ság M. , Szigeti P. (főisk. hallgató Zürich)
Füzet:	1926/december, 114 - 115. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Azonosságok, Összefüggések binomiális együtthatókra, Differenciálási szabályok, Kombinációk, Kombinatorika, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1926/október: 194. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

$1^{\circ}$ . Általában az $y = u v$ szorzat $n$ -dik differenciálhányadosa. ‐ Leibnitz szerint ‐:

\begin{matrix} y^{(n)} = u^{(n)} v + C_{n}^{1} u^{(n - 1)} v' + C_{n}^{2} u^{(n - 2)} v'' + ... + u v^{(n)} . \end{matrix}

Ezen sor tetszőleges tagja:

\begin{matrix} C_{n}^{k} u^{(n - k)} v^{(k)} . \end{matrix}

Ha már most

u = {(x - α)}^{n}

és

v = {(x - β)}^{n}

, akkor

\begin{matrix} u^{(n - k)} = n (n - 1) ... (k + 1) {(x - α)}^{k} = \frac{n!}{k!} {(x - α)}^{k} \\ v^{(k)} = n (n - 1) ... (n - k + 1) {(x - β)}^{n - k} = k! C_{n}^{k} {(x - β)}^{n - k} \\ C_{n}^{k} u^{(n - k)} v^{(k)} = C_{n}^{k} \cdot \frac{n!}{k!} {(x - α)}^{k} \cdot k! C_{n}^{k} {(x - β)}^{n - k} = n! {(C_{n}^{k})}^{2} {(x - α)}^{k} {(x - β)}^{n - k} \end{matrix}

és így

\begin{matrix} y^{(n)} = n! \sum_{k = 0}^{k = n} {(C_{n}^{k})}^{2} {(x - α)}^{k} {(x - β)}^{n - k} . \end{matrix}

2^{\circ}

. Alkalmazzuk ezen eredményt

α = 1

és

β = - 1

esetre; ekkor megkapjuk az

{(x^{2} - 1)}^{n}

n

-dik differenciálhányadosát egy bizonyos alakban. Azonban ezt kiszámíthatjuk közvetlenül is, úgy hogy

{(x^{2} - 1)}^{n}

függvényt kifejtjük és az így nyert többtagút differenciáljuk. Ilyen módon azonos kifejezéseket kell nyernünk, amelyekben az

x

egyenlő kitevőjű hatványaihoz egyenlő együtthatók tartoznak. Az előbbi eredmény szerint, ha

α = 1

és

β = - 1

, akkor

\begin{matrix} y^{(n)} = n! \sum_{k = 0}^{k = n} {(C_{n}^{k})}^{2} {(x - 1)}^{k} {(x + 1)}^{n - k} . \end{matrix}

(1)

Ebben az alakban

x^{n}

hatványához tartozó együttható:

\begin{matrix} n! [{(C_{n}^{0})}^{2} + {(C_{n}^{1})}^{2} + ... + {(C_{n}^{n})}^{2}] . \end{matrix}

Ha pedig

{(x^{2} - 1)}^{n}

-t kifejtjük:

\begin{matrix} y = x^{2 n} - (\binom{n}{1}) x^{2 n - 2} + (\binom{n}{2}) x^{2 n - 4} - ... \end{matrix}

(2)

és

\begin{matrix} y^{(n)} = 2 n (2 n - 1) ... (n + 1) x^{n} - ... \end{matrix}

(3)

x

itt csak az első tagban fordulhat elő; tehát

\begin{matrix} n! [{(C_{n}^{0})}^{2} + {(C_{n}^{1})}^{2} + ... + {(C_{n}^{n})}^{2}] = 2 n (2 n - 1) ... (n + 1) \\ {(C_{n}^{0})}^{2} + {(C_{n}^{1})}^{2} + ... + {(C_{n}^{n})}^{2} = \frac{2 n (2 n - 1) ... (n + 1)}{n!} = C_{2 n}^{n} . \end{matrix}

3^{\circ}

. Az

1^{0}

. alatti kifejtésben az

x

-t nem tartalmazó tag a

(- 1^{k}) {(+ 1)}^{n - k} =

= {(- 1)}^{k}

alakú tagok összege lesz, és ennek egy együtthatója ez:

\begin{matrix} n! [{(C_{n}^{0})}^{2} - {(C_{n}^{1})}^{2} + {(C_{n}^{2})}^{2} - ... {(- 1)}^{n} {(C_{n}^{n})}^{2}] . \end{matrix}

(4)

3^{\circ}

. alatti kifejtésben

x

kitevőinek sorozata:

n

n - 2

n - 4

s. í. t., mert az

n

-szeri differenciálás folytán a kitevő mindenütt

n

-nel kisebbedik. Tehát

x

-t nem tartalmazó taghoz nem jutunk, ha

n

páratlan, más szóval ezen tag:

0

. Ha

n

páros szám, akkor a (2) alatti kifejtésnek azon tagja, mely

x^{n}

-t tartalmazza:

\begin{matrix} {(- 1)}^{\frac{n}{2}} C_{n}^{\frac{n}{2}} x^{n} . \end{matrix}

(T. i.

2 n - 2 r = n

. Ha

r = \frac{n}{2}

).
Ezen tag

n

-dik differenciálhányadosa:

{(- 1)}^{\frac{n}{2}} n! C_{n}^{\frac{n}{2}}

.
Ha ezt egybevethetjük a (4) alatti együtthatóval:

\begin{matrix} {(C_{n}^{0})}^{2} - {(C_{n}^{1})}^{2} + {(C_{n}^{2})}^{2} + ... + {(- 1)}^{n} {(C_{n}^{n})}^{2} = {\begin{matrix} 0, ha n páratlan \\ {(- 1)}^{\frac{n}{2}} C_{n}^{\frac{n}{2}} ha n páros . \end{matrix} \end{matrix}

Katona Endre (izr. rg. VIII. o. Bp.)